Nel calcolo delle probabilità lo spazio campionario o insieme universo (generalmente indicato dalle lettere , o ) è l'insieme dei possibili risultati di un esperimento casuale. Ad esempio, nel lancio di un dado a sei facce, lo spazio campionario è l'insieme , nel lancio di una moneta è l'insieme (escludendo che la moneta possa rimanere in bilico sul bordo), e così via. Lo spazio campionario può anche avere infiniti elementi: se, ad esempio, siamo interessati allo studio della caduta di una pallina su un pavimento, lo spazio campionario corrisponderà all'insieme dei punti del pavimento, considerati tutti come possibili punti di impatto della pallina.
Definizioni formali
Spazio campionario Dato un esperimento casuale, è detto evento elementare (sample point nella letteratura anglosassone) uno dei possibili esiti dell'esperimento stesso. L'insieme di tutti gli eventi elementari viene detto spazio campionario (sample space nella letteratura anglosassone); gli eventi elementari rappresentano i punti di questo spazio.
I concetti di spazio campionario ed evento elementare sono concetti primitivi in teoria della probabilità, come quelli di punto o linea in geometria, e non vengono ulteriormente definiti a partire da altri concetti. Non vi sono quindi indicazioni o limitazioni sulla natura degli eventi elementari; nel seguito della voce si daranno alcuni esempi nei quali gli eventi elementari assumono una specifica natura matematica.
Eventi
Mentre con evento elementare si indica uno dei possibili esiti di un esperimento casuale, si dice evento un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario degli eventi elementari. Dunque un evento non è altro che un raggruppamento di uno o più eventi elementari. Pertanto, le espressioni evento elementare ed evento senza ulteriori specificazioni si riferiscono ad enti di natura diversa: i primi sono punti di uno spazio, la cui natura non è ulteriormente definita in generale, mentre i secondi sono insiemi, quindi trattabili con tutti gli strumenti della omonima teoria.
L'insieme corrispondente all'intero spazio campionario è esso stesso un evento, in quanto insieme di eventi elementari; è detto evento certo poiché comprende tutti gli eventi elementari, cioè tutti i possibili risultati di un esperimento. L'evento corrispondente all'insieme vuoto , che non comprende alcun evento elementare, è detto evento impossibile.
Dato uno spazio campionario associato a un esperimento, può darsi che l'analisi da condurre non coinvolga tutti i possibili eventi, ma solo una parte di essi. Gli eventi che hanno un ruolo in una specifica analisi vengono detti eventi di interesse.
Sigma-algebra
Sia uno spazio arbitrario purché non vuoto. Una famiglia di eventi di (cioè una qualsiasi collezione di sottoinsiemi ) è detta -algebra (sigma-algebra) se contiene ed è chiusa rispetto alle operazioni insiemistiche di unione numerabile e complementazione, ovvero se soddisfa le seguenti tre proprietà:
Pertanto: (1) l'evento certo è un evento (come dire: "succede qualcosa"); (2) la negazione di un qualsiasi evento è essa stessa un evento; (3) qualsiasi unione di eventi è un evento (per esempio l'evento "si verifica o " è l'unione dell'evento "si verifica " con l'evento "si verifica ").
La proprietà 1. è del tutto equivalente a: 1'.
La proprietà 3. è del tutto equivalente a: 3'. cioè una sigma-algebra è anche chiusa rispetto a intersezioni numerabili.
Una sigma-algebra è il metodo più appropriato per descrivere un insieme di eventi a partire da un insieme di eventi elementari, e viene anche detta spazio degli eventi. Essa rappresenta un concetto ampiamente trattato in teoria della misura e deriva da una generalizzazione dell'algebra di insiemi. Questa, che richiede la stabilità solo per unioni finite (e non per quelle numerabili), non è tuttavia adeguata a descrivere tutti i possibili eventi, quali quelli del tipo "prima o poi piove". Infatti, questo evento è traducibile in linguaggio insiemistico come "piove oggi" oppure "piove domani" oppure " piove dopodomani", eccetera; ovvero l'evento è descritto dall'unione di infiniti eventi, , da cui deriva che per la definizione di algebra potrebbe essere ; quindi non sarebbe un evento compreso in un modello basato sull'algebra di insiemi. Per ovviare a ciò si introduce la nozione di sigma-algebra.
Dato uno spazio arbitrario e una famiglia di suoi sottoinsiemi è possibile, sempre e in vari modi, estendere la famiglia sino a renderla una sigma-algebra. La più piccola sigma-algebra contenente la famiglia viene indicata con e detta sigma-algebra generata dalla famiglia.
Spazio di probabilità
I concetti di spazio campionario e di spazio degli eventi sin qui definiti, considerati assieme a quello di una misura , detta appunto misura di probabilità, concorrono a definire il concetto di spazio di probabilità , che rappresenta la base per lo sviluppo assiomatico della teoria della probabilità.
Osservazioni
Gli elementi dell'insieme delle parti di sono i sottoinsiemi di ; quindi una famiglia di sottoinsiemi di è un sottoinsieme dell'insieme delle parti di , .
Un evento è un sottoinsieme di , e non un suo elemento. Quindi un evento, in quanto insieme, non appartiene allo spazio campionario, ma è incluso nello spazio campionario. Di converso, un evento elementare , in quanto punto, appartiene allo spazio campionario, e l'evento , insieme costituito da un singolo punto (e perciò detto singoletto), è incluso nello spazio campionario. Si può quindi scrivere , mentre la scrittura è priva di significato.
Se la cardinalità di è finita, allora la -algebra può coincidere con l'insieme delle parti; non è detto però che sia necessario considerare una famiglia di eventi così grande.
Ovviamente nulla vieta di prendere come spazio degli eventi proprio l'insieme delle parti. Questo perché, nel caso di cardinalità finita, è sempre possibile prendere come -algebra l'intero insieme delle parti, senza rischiare di incappare in eventi ai quali non sia possibile attribuire una probabilità .
Se invece la cardinalità di è infinita, non è detto che sia possibile definire . In tale caso, può darsi che la scelta dell'insieme delle parti come sigma-algebra non sia felice: in virtù della terza proprietà delle sigma-algebre, quando passiamo alla probabilità vengono coinvolte delle serie che non è detto convergano.
In generale, si cerca sempre di scegliere una sigma-algebra piccola, in quanto più semplice da usare. Il fatto che una sigma-algebra sia non coincidente con l'intero insieme delle parti non vuol dire che alcuni eventi elementari ne possano restare esclusi; infatti, per definizione di sigma-algebra, dev'essere . In altri termini, le sigma-algebre definite su sono una copertura di .
Tipi di spazio campionario La scelta dello spazio campionario per un determinato fenomeno aleatorio deve in qualche modo equilibrare la necessità di essere fedele alla realtà fisica esaminata con la convenienza matematica.
In pratica, la maggior parte degli spazi campionari rientra nelle seguenti tipologie: Finito I più semplici esperimenti aleatori consistono nel lancio di una moneta o di un dado, o nell'estrazione di una pallina da un'urna. In ogni caso lo spazio campionario sarà un insieme costituito da un numero finito di eventi elementari. In genere, ma non necessariamente, essi saranno rappresentati dai primi n numeri interi: oppure .
Numerabile Molti importanti modelli probabilistici, come ad esempio quello poissoniano utilizzato per contare il numero di accadimenti che si verificano in un intervallo di tempo fissato, si basano su uno spazio campionario numerabile e coincidente, quindi con tutto o con . Continuo Solitamente il modello continuo per eccellenza è la retta reale, come nel caso degli errori di misura nelle osservazioni scientifiche il cui studio sistematico è stato avviato da Karl Friedrich Gauss nel 1809. Altri modelli, utili per rappresentare i tempi di vita di componenti elettronici, hanno come modello la semiretta reale positiva.
Vettoriale finito Spesso un esperimento è costituito da una sequenza finita di altri esperimenti come, ad esempio, il lancio di un dado ripetuto n volte. In tale caso, se è lo spazio campionario del singolo lancio, lo spazio campionario complessivo sarà dato dal prodotto cartesiano dei singoli spazi: .
Lo spazio campionario del singolo esperimento potrà essere sia finito che numerabile che continuo.
Vettoriale numerabile Come nel caso vettoriale finito con l'unica differenza che la sequenza dei singoli esperimenti non è finita ma numerabile dunque: .
Tale modello compare, ad esempio, nelle analisi di qualità dei pezzi uscenti da una linea di produzione con o nella passeggiata aleatoria (random walk) con .
Funzionale In alcuni esperimenti aleatori della fisica, gli esiti dell'esperimento sono i percorsi o le traiettorie di una particella in un certo intervallo di tempo. Quindi ogni esito, in questo caso, è una funzione. Tale modello emerge insistentemente nei processi stocastici.
Esempi Per molti esperimenti può esistere più di una scelta plausibile sia per lo spazio campionario che per lo spazio degli eventi, e la loro scelta rappresenta una parte fondamentale nella costruzione di un modello probabilistico. Una scelta corretta in questa fase conferisce un vantaggio che diviene chiaro in fase di assegnazione di una misura di probabilità. Sono elencati qui alcuni esempi.
Un mazzo di carte Per esempio, nel caso dell'estrazione di una carta da un mazzo, si potrebbe scegliere di rappresentare nello spazio campionario il punteggio ({Asso, Due, Tre, ..., Re}), oppure il seme ({Cuori, Quadri, Fiori, Picche}), o ancora la scelta {Faccia in alto, Faccia in basso} se si vuole considerare l'eventuale rovesciamento di alcune carte nel mazzo. Una descrizione più completa dei risultati potrebbe poi specificare tutti questi elementi costruendo uno spazio campionario come prodotto cartesiano degli esempi prima fatti.
Un foglio in pezzi Prendiamo un qualsiasi foglio: nella sua interezza rappresenterà il nostro spazio campionario. Le singole particelle del foglio corrisponderanno ai punti dello spazio campionario ovvero agli eventi elementari. Se ora strappiamo in pezzi il foglio, ognuno dei pezzi rappresenterà un evento che, in quanto aggregato di particelle, sarà un sottoinsieme del foglio originale e, in quanto pezzo, sarà un elemento dell'insieme dei pezzi del foglio (l'insieme delle parti). Osserviamo che un foglio strappato in pezzi costituisce una partizione del foglio originale. I pezzi in cui abbiamo strappato il foglio non esauriscono tutto l'insieme delle parti ma ne costituiscono solo una sua famiglia. Tale famiglia può essere estesa ad una sigma-algebra aggiungendo ad essa anche tutte le possibili composizioni ottenibili con le operazioni insiemistiche di unione numerabile, intersezione numerabile e complementazione. Ad esempio dovremo aggiungere alla famiglia l'unione di tutti i pezzi (l'intero foglio). Accanto ad ogni pezzo della famiglia dovremo aggiungere il suo complementare (ovvero l'unione di tutti gli altri pezzi), e via dicendo.
Notiamo che questo procedimento ci conduce ad una sigma-algebra ma non all'insieme delle parti, per arrivare al quale dovremmo ripetere il procedimento anche per tutti gli altri modi in cui possiamo strappare il foglio originale.
Lancio di un dado equilibrato Consideriamo un esperimento che consiste nel lanciare un comune dado (un cubo le cui facce sono numerate da a ) su una superficie piana dotata di attrito e delimitata da pareti atte a contenere il movimento del dado (ovvero una scatola!) e supponiamo che il dado sia bilanciato (ovvero che la sua distribuzione di massa sia uniforme e non privilegi una faccia rispetto alle altre).