thumb|Il grafico della funzione valore assoluto In matematica una disequazione con valore assoluto è una disequazione del tipo , dove:
e sono due funzioni qualsiasi. p.151
Caso particolare: funzione costante Consideriamo prima di tutto il caso in cui . Si ha pertanto .
Le disequazioni di questo tipo si possono risolvere in maniera meccanica a seconda del valore di , sfruttando il fatto che il valore assoluto di un numero è sempre maggiore o uguale a . p.578
k < 0
Non può mai capitare che il primo membro sia minore o uguale a un numero negativo. La disequazione è impossibile.
Non può mai capitare che il primo membro sia minore di un numero negativo. La disequazione è impossibile.
Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore o uguale di un numero negativo. La soluzione è , dove è il dominio di .
Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore di un numero negativo. La soluzione è , dove è il dominio di .
k = 0
Il primo membro non potrà mai essere minore di zero. La disequazione è impossibile.
Le uniche soluzioni sono quelle che rendono il primo membro uguale a zero, quindi risolvere questa disequazione è equivalente a risolvere l'equazione .
Vanno bene tutti i valori tranne quelli che rendono nulla . Pertanto in questo caso bisogna risolvere .
Qualunque elemento del dominio è accettato: la soluzione è , sempre con dominio di .
k > 0
In questo caso ci si riporta a disequazioni senza valore assoluto:
È equivalente a , cioè al sistema
È equivalente a , cioè al sistema
È equivalente a
È equivalente a
Caso generale In questo caso sia a primo membro che al secondo ci sono due funzioni di , e il metodo risolutivo dipende dal segno di disuguaglianza presente tra di esse. pp.151-152
|f(x)| < g(x) La disequazione è equivalente a
o, in alternativa, a
|f(x)| ≤ g(x) La disequazione è equivalente a
o, in alternativa, a
|f(x)| > g(x) La disequazione è equivalente a
o, in alternativa, a
|f(x)| ≥ g(x) La disequazione è equivalente a
o, in alternativa, a
Presenza di più valori assoluti
Nel caso siano presenti due o più valori assoluti è necessario aprire i valori assoluti secondo la definizione: pp.138-141
Quindi nell'esercizio proposto i due valori assoluti diventano:
e
Si individuano pertanto gli intervalli dell'asse reale in cui gli argomenti dei valori assoluti mantengono il loro segno. In questo caso ci sono tre intervalli e in tali intervalli i valori assoluti vengono aperti:
Le soluzioni dei tre sistemi vanno unite nell'insieme di soluzione della disequazione data in partenza.
Note
Bibliografia
Voci correlate Valore assoluto Disequazione algebrica
Categoria:Disequazioni