Gli integrali di Fresnel, e , sono due funzioni speciali trascendenti introdotte in ottica dall'ingegnere francese Augustin-Jean Fresnel per studiare i fenomeni della diffrazione.
Definizione Esse sono definite attraverso le seguenti rappresentazioni:
Gli integrali di queste definizioni sono normalizzati, sull'intervallo a 1. Alcuni autori preferiscono una definizione senza il coefficiente nell'argomento delle integrande, che quindi è più semplice, ma rinuncia alla normalizzazione a 1.
Proprietà e sono funzioni dispari.
Gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati in forma chiusa in termini di funzioni elementari, salvo casi particolari. Infatti essi convergono all'infinito e si ha:
Dimostrazione nel limite per x tendente all'infinito Gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati con i metodi tradizionali.
Integrazione sul piano complesso Il coseno nell'integranda può essere scritto come parte reale di una variabile complessa di modulo unitario scritta in forma polare. Sfruttando la linearità dell'integrazione si ha:
Una possibile dimostrazione sfrutta l'integrale di Gauss
e il teorema di Cauchy-Goursat, che stabilisce che è nullo l'integrale, lungo una qualsiasi curva chiusa che delinea uno spazio semplicemente connesso, di una qualsiasi funzione analitica (in ) ovunque all'interno di tale curva, quale è all'interno della curva riportata in figura.
Come curva si sceglie un triangolo rettangolo isoscele di cateto i cui tre lati sono indicati con (cateti) e (ipotenusa). La curva è percorsa in senso antiorario. Si ha dunque:
da cui si ha:
(*)
I tre integrali sono analizzati singolarmente. Su l'integrazione si effettua lungo l'asse reale. L'integrale è riscritto con variabile di integrazione come , dove è stato esplicitato l'intervallo di integrazione.
Su è , variabile complessa che percorre l'ipotenusa quando varia da, nell'ordine, a Si ha . Con questa parametrizzazione, si ha
dove si sono sfruttate le identità e . Si riconosce che la scelta del cammino di integrazione lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante ha consentito di esperimere l'integrale complesso in termini di un integrale (reale) del tipo di Gauss.
Su si ha con costante. La variabile percorre il cateto verticale quando varia da, nell'ordine, a Si ha . Con questa parametrizzazione si ha, svolgendo il quadrato all'esponente:
L'equazione (*) diventa:
Per ottenere il valore dell'integrale di Fresnel nel limite si nota che il primo integrale a secondo membro è, in tale limite, nullo. Infatti si ha:
dove si è utilizzato . Ma
e dunque per il modulo dell'integrale su si annulla e quindi l'integrale deve essere 0 (non solo minore di 0). In ultima analisi, questo fatto è dovuto alla forma dell'integranda, nella quale il termine oscillatorio è smorzato da un esponenziale decrescente che rende tali oscillazioni integrabili.
L'equazione (*) dunque è ridotta a:
L'annullamento dell'integrale lungo consente di interpretare la tecnica di integrazione come una pura rotazione di dell'asse di integrazione. Il coefficiente si combina con il limite di integrazione a rendere i cammini di integrazione uguali (a ) nei due integrali. Questo avviene direttamente scegliendo come contorno quello di un settore circolare centrato nell'origine, ma la dimostrazione dell'annullamento dell'integrale lungo che ne segue è più complessa. Viceversa, integrare lungo un arco è più comodo in presenza di poli (per esempio nel calcolo di ).
Si procede calcolando il limite per
in cui si è sfruttato il già ricordato integrale di Gauss. L'integrale di Fresnel è ottenuto prendendo la parte reale:
Trasformata di Fourier La trasformata di Fourier consente una dimostrazione più rapida. La trasformata di è data da
L'integrale desiderato è ottenuto per e :
perché dalla parità del coseno segue
La rapidità è dovuta al fatto che il lavoro di integrazione è demandato alle tavole, che sono basate su di esso. In questo senso la derivazione tramite trasformata di Fourier non è necessariamente indipendente dalla precedente.
Normalizzazione Il risultato
consente di normalizzare l'integrale di Fresnel. Si cerca il coefficiente tale per cui
che è equivalente, per la parità del coseno, a
Il cambio di variabile porta a
da cui e quindi
Relazione con altre funzioni speciali
dove denota una funzione ipergeometrica confluente.
La relazione con la funzione degli errori è:
Dimostrazione Dalle definizioni delle funzioni di Fresnel si ha:
in cui si sostituisce (perché ) ottenendo
in cui si è riconosciuta la definizione di funzione degli errori già richiamata e razionalizzato il coefficiente prima dell'integrale moltiplicandone il denominatore per .
Note
Bibliografia M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1972) p. 300 P. Drude Theory of Optics (Longmans, Green, and Co., New York, 1902) p. 188-203
Voci correlate Integrale di Gauss Integrale di Eulero
Altri progetti
Collegamenti esterni Integrale di Fresnel S(x) su functions.wolfram.com Integrale di Fresnel C(x) su functions.wolfram.com Integrali di Fresnel MathWorld
Categoria:Funzioni speciali Categoria:Diffrazione