La trasformata di Mellin, il cui nome deriva dal matematico finlandese Hjalmar Mellin, è una trasformata integrale che può essere considerata la versione moltiplicativa della trasformata di Laplace bilatera.
Definizione La trasformata di Mellin di una funzione è data da:
Se le condizioni poste dal teorema di inversione di Mellin sono soddisfatte si può definire la trasformata inversa di Mellin:
dove l'integrale di linea è valutato lungo una linea verticale nel piano complesso.
Relazione con le altre trasformate La trasformata di Mellin può essere definita attraverso la trasformata di Laplace bilatera come:
e viceversa, la trasformata di Laplace bilatera può essere definita a partire dalla trasformata di Mellin nel seguente modo:
La trasformata di Laplace bilatera integra rispetto alla misura di Haar additiva , che è invariante sotto traslazione:
mentre la trasformata di Mellin può essere vista come un'integrazione che utilizza il nucleo integrale rispetto alla misura di Haar moltiplicativa , che è invariante rispetto ad una dilatazione del tipo , e dunque:
La trasformata di Mellin si può anche definire in termini della trasformata di Fourier:
e viceversa:
Bibliografia A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger e F. Tricomi Tables of Integral transforms v. 1 (McGrawHill, NY, 1954) A. H. Zemanian Generalized Integral Transformations cap. 4 (John Wiley & Sons, 1968) I. N. Sneddon Fourier Transforms cap. 1 (Dover, NY, 1995)
Voci correlate Teorema di inversione di Mellin Trasformata di Fourier Trasformata di Laplace
Collegamenti esterni Mellin Transform and Its Applications (Università Purdue) Trasformata di Mellin (MathWorld) Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations. Trasformata di Mellin (EqWorld) G. L. Porter (Tesi di Laurea, Air Force Institute of Technology, Wright Paterson, OH, 1997) T. A. Loughlin A table of distributional Mellin transforms (State University of New York, Stony Brook, 1965) A. H. Zemanian The distributional Laplace and Mellin transformations (State University of New York, Stony Brook, 1964) Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums. Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (in Spanish). Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX
Categoria:Analisi complessa Categoria:Trasformate integrali