In matematica un campo di numeri (o campo numerico) è un'estensione finita del campo dei numeri razionali. Questo significa che è un campo contenente ed ha dimensione finita come spazio vettoriale su .

Lo studio dei campi di numeri e, più in generale, delle estensioni del campo dei numeri razionali, è uno degli argomenti principali della teoria algebrica dei numeri.

Definizione

Un campo algebrico di numeri o più semplicemente un campo di numeri è per definizione un sottocampo del campo dei numeri complessi che sia un'estensione di grado finito del campo dei numeri razionali .

Esempi

Un primo esempio banale è il campo dei numeri razionali , che è esso stesso un campo di numeri, essendo un'estensione di grado di . Un esempio non banale sono i campi quadratici, cioè le estensioni con privo di fattori quadratici. Ovviamente se allora è il campo dei razionali gaussiani. Un altro esempio è l'-esimo campo ciclotomico, cioè il campo con radice primitiva -esima dell'unità, questo campo ha grado dove è la funzione di Eulero. Un "non" esempio è , che è un'estensione di ma il suo grado è infinito, per cui non è un campo di numeri. Per vedere che , basta ricordare che ha cardinalità del continuo, mentre è numerabile.

Anelli di interi algebrici

Sappiamo dalla teoria dei campi che data un'estensione , un elemento è detto algebrico su se è radice di un polinomio monico , e chiamiamo estensioni algebriche le estensioni di campi i cui elementi sono tutti algebrici; in particolare se chiamiamo numero algebrico un elemento che sia algebrico su , inoltre se è radice di un polinomio monico a coefficienti in diremo che è un intero algebrico.

Ora, dato un campo di numeri , definiamo (si dimostra che è un anello), si definisce anello degli interi algebrici di .

In generale dato un campo di numeri , il rispettivo anello degli interi non è un UFD (vedi esempio sotto), ma è possibile dimostrare che gode di altre interessanti proprietà, in particolare, che è un dominio di Dedekind, per cui ammette una fattorizzazione unica in termini di ideali primi.

Esempio

Dato il campo quadratico , si ha (in realtà si può dimostrare che ), per cui abbiamo

dunque non è UFD.

Bibliografia

Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000 Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999 Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005

André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

Voci correlate Campo quadratico Campo ciclotomico Estensione di campi Teoria dei campi (matematica) Teoria algebrica dei numeri Collegamenti esterni

Categoria:Teoria dei campi