In matematica, il teorema della funzione inversa dà condizioni sufficienti affinché una funzione possegga una inversa locale, cioè affinché essa sia invertibile in un appropriato intorno di un punto del suo dominio.

Il teorema può essere enunciato per funzioni reali o vettoriali e generalizzato per spazi di Banach e varietà differenziabili.

Il teorema Sia un aperto e un punto di . Se è una funzione di classe C1 tale che il determinante jacobiano di in è non nullo:

o equivalentemente se il differenziale di in :

è un isomorfismo lineare, allora esistono un intorno di e un intorno di tale che la restrizione di su e :

è invertibile con di classe su Inoltre per ogni vale la relazione:

Una funzione differenziabile che possiede inversa locale differenziabile si dice un diffeomorfismo locale.

Dimostrazione Sia e un intorno sferico. Supponiamo per assurdo che per ogni esistono con e Applicando il teorema di Lagrange alle componenti di per ogni esiste un punto tale che dove è il prodotto scalare. Posto essendo limitata per costruzione, per il teorema di Bolzano-Weierstrass la successione ammette una sottosuccessione estratta convergente a un versore Poiché e e per ogni Ciò è assurdo in quanto, per ipotesi, e il sistema lineare

ha come unica soluzione il vettore nullo di Allora esiste un intorno di in cui è iniettiva.

Sia e Posto risulta Inoltre

Allora per il teorema delle funzioni implicite esistono un intorno di un intorno di ed un'unica funzione di classe tale che Supposto è iniettiva in e segue che è l'inversa di ristretta a

Inoltre, sempre per il teorema delle funzioni implicite, si ha:

ma essendo si ottiene l'asserto.

Esempio La funzione definita sullo spazio euclideo bidimensionale:

possiede matrice jacobiana:

che ha determinante , non nullo se il punto non è l'origine. Pertanto è un diffeomorfismo locale in ogni punto di diverso dall'origine. Ma non è un diffeomorfismo poiché non è iniettiva: ad esempio .

Generalizzazioni Varietà differenziabili Il teorema si estende al caso di funzioni tra due varietà differenziabili ed , richiedendo la condizione che il differenziale di :

sia un isomorfismo lineare tra gli spazi tangenti.

Spazi di Banach Nel contesto degli spazi di Banach, il teorema assume la seguente forma: se è una mappa tra spazi di Banach differenziabile con continuità in un intorno dello 0 e il differenziale è un isomorfismo lineare limitato di in , allora è localmente invertibile in 0 mediante una funzione differenziabile.

Bibliografia Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Editore Liguori, ISBN 88-207-3137-1 Edoardo Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, ISBN 88-339-5548-6

Voci correlate Classe C di una funzione Diffeomorfismo locale Differenziale (matematica) Funzione inversa Funzione differenziabile Matrice jacobiana Operatore lineare limitato Teorema delle funzioni implicite

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