In matematica, la notazione decimale periodica 0,999..., scritta correttamente: oppure oppure , denota il numero reale 1.
In altre parole, le notazioni "0,999…" e "1" rappresentano lo stesso numero reale. Nel tempo sono state derivate numerose dimostrazioni di questa identità, a diversi livelli di rigore matematico, adottando diversi sviluppi del sistema dei numeri reali, assunzioni e contesti storici, e rivolte a diversi tipi di pubblico.
I ricercatori nel campo dell'insegnamento della matematica hanno studiato la recettività degli studenti verso questa uguaglianza. Benché essa sia stata da tempo accettata dai matematici e insegnata nei libri di testo, molti studenti la discutono o la rifiutano, almeno inizialmente. Molti vengono guidati ad accettare l'uguaglianza dai libri di testo, dagli insegnanti e da ragionamenti aritmetici. Le ragioni degli studenti nel negare o affermare l'uguaglianza sono solitamente basate su alcune intuizioni errate sui numeri reali; per esempio, che ogni numero reale ha un'unica rappresentazione decimale, che gli infinitesimi diversi da zero esistono o che l'estensione di 0,999… ha un termine.
La non unicità di tale rappresentazione non è limitata al sistema decimale. Lo stesso fenomeno si presenta in tutte le basi intere e i matematici hanno anche quantificato i diversi modi di scrivere 1 in basi non intere. Questo fenomeno non è neppure ristretto al solo numero 1: ogni numero razionale diverso da zero avente una rappresentazione decimale limitata può essere scritto in una forma che ha periodo 9. La forma decimale limitata è adottata più spesso per semplicità, e ciò contribuisce all'idea sbagliata che questa sia l'unica rappresentazione. Di fatto, una volta che si permettono le periodicità, tutti i sistemi numerici posizionali contengono un numero infinito di numeri con rappresentazioni duplici. Per esempio 28,3287 è uguale a 28,3286999... e a 28,3287000. Queste rappresentazioni duplici sono state usate per capire meglio gli schemi nelle rappresentazioni decimali delle frazioni e nella struttura di un semplice frattale, l'insieme di Cantor. Bisogna tenerne conto per studiare il grado di infinito (cardinalità) dell'insieme dei numeri reali.
Possono essere costruiti sistemi numerici in cui non vi è più questa identità, ma solo fuori dai sistemi convenzionali di numerazione reale usati nella matematica elementare.
Introduzione 0,999… è un numero scritto nel sistema di numerazione decimale e una delle più semplici dimostrazioni che tale numero è uguale a uno si affida alle proprietà aritmetiche di questo sistema. Gran parte dell'aritmetica decimale — addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e comparazione — usa manipolazioni al livello delle cifre che sono molto simili a quelle usate per gli interi. Come con gli interi, due decimali finiti con cifre diverse sono numeri diversi (si ignorano gli zeri periodici). In particolare, qualsiasi numero nella forma di 0,99…9, dove i 9 hanno una fine, è leggermente minore di 1.
Sbagliare a interpretare il significato dell'uso del "…" (Punti di sospensione) in 0,999… porta a non capire la sua uguaglianza a 1. L'uso dei punti, in questo caso, è diverso da quello fatto nel linguaggio o in scritture come 0,99…9, in cui i punti specificano che una porzione finita non viene scritta. La notazione 0,999… può essere interpretata come un numero solo utilizzando il concetto matematico di limite. Di conseguenza, nell'uso convenzionale della matematica, il valore assegnato alla notazione "0,999…" è il numero reale che è limite della successione (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; …).
Non è questa l'unica notazione in cui, a differenza del caso con gli interi e i decimali finiti, capita che uno stesso numero può essere rappresentato in diverse maniere. La stessa cosa si verifica nell'uso delle frazioni, con le quali esistono non solo due ma infinite possibilità equivalenti come si vede nel seguente esempio: 1⁄3 = 2⁄6 = 4⁄12, ecc. I decimali infiniti, tuttavia, possono rappresentare lo stesso numero in due soli modi, uno dei quali deve terminare con una serie infinita di nove, mentre l'altro deve terminare (o, detto in altro modo, deve consistere di una serie di zeri periodici da un certo punto in avanti).
Ci sono molte dimostrazioni del fatto che 0,999… = 1, dotate di diversi livelli di coerenza matematica. Un breve abbozzo di una dimostrazione coerente può essere descritto semplicemente nei seguenti termini: si assuma che due numeri reali siano identici se e solo se la loro differenza è uguale a zero. La maggior parte delle persone sarebbe d'accordo nel dire che la differenza tra 0,999… e 1, se esiste, deve essere molto piccola. Considerando la convergenza della successione sopra descritta, possiamo mostrare che la dimensione di questa differenza deve essere più piccola di qualsiasi quantità positiva e si può dimostrare che il solo numero reale con questa proprietà è 0. Poiché la differenza è 0 ne consegue che i numeri 1 e 0,999… sono identici. Lo stesso principio spiega anche perché 0,333… = 1⁄3, 0,111… = 1⁄9 eccetera.
Difficoltà nell'insegnamento Gli studenti di matematica spesso rifiutano l'uguaglianza tra 0,999… e 1, con motivazioni che vanno dal loro diverso aspetto a dubbi sul concetto di limite e dissensi sulla natura degli infinitesimi. Ci sono molti fattori comuni che contribuiscono alla confusione:
Gli studenti sono spesso "mentalmente legati alla nozione che un numero può essere rappresentato in un modo e uno soltanto in decimale". Vedere due rappresentazioni decimali manifestamente differenti che rappresentano tuttavia lo stesso numero sembra loro un paradosso, amplificato dal vedere in gioco l'apparentemente ben conosciuto numero 1.Bunch, p. 119; Tall e Schwarzenberger, p. 6. L'ultimo suggerimento è dovuto a Burrell (p. 28): «Forse il più rassicurante di tutti i numeri è 1,… Così è particolarmente sconvolgente quando qualcuno tenta di dimostrare che 0,9~ è uguale a 1.» Alcuni studenti interpretano 0,999… (o notazioni simili) come una serie numerosa, ma finita, di 9, eventualmente con una lunghezza variabile e non specificata. Se accettassero una stringa infinita di nove, si aspetterebbero comunque un ultimo 9 "a infinito".Tall e Schwarzenberger, pp. 6–7; Tall, 2000, p. 221. L'intuito e gli insegnamenti ambigui portano gli studenti a pensare al limite di una successione come un tipo di processo infinito piuttosto che a un valore preciso, poiché una successione non ha bisogno di raggiungere il proprio limite. Nel caso in cui gli studenti accettino la differenza tra una successione di numeri e il suo limite, potrebbero leggere "0,999…" come significato della successione e non come suo limite.Tall e Schwarzenberger, p. 6; Tall, 2000, p. 221. Alcuni studenti pensano che 0,999… abbia un valore fisso inferiore a 1 di un infinitesimo diverso da zero. Alcuni studenti credono che il valore di una serie convergente sia al massimo un'approssimazione e quindi .
Queste idee sono sbagliate nel contesto dei numeri reali standard, anche se alcune potrebbero essere valide in altri sistemi di numerazione, che siano inventate per la loro utilità matematica generale o come modo istruttivo per avere dei controesempi attraverso cui comprendere meglio 0,999….
Molte di queste idee sono state raccolte dal professor David Tall, che ha studiato le caratteristiche dell'insegnamento e della cognizione che portano ad alcune delle incomprensioni incontrate nei suoi studenti. Intervistando i propri studenti per capire come mai gran parte di loro rifiutasse inizialmente l'uguaglianza, egli scoprì che "gli studenti continuavano a concepire 0,999… come una sequenza di numeri che si avvicinavano sempre di più a 1 e non come un valore fisso, perché 'non ha spiegato quante cifre ci sono' o 'è il numero decimale più vicino inferiore a 1' ".Tall, 2000, p. 221.
Tra le dimostrazioni elementari, la moltiplicazione di 0,333… = 1⁄3 per 3 è apparentemente la migliore per convincere gli studenti riluttanti che 0,999… = 1. Però, quando messi a confronto con il loro conflitto tra la certezza della prima equazione e l'incertezza della seconda, alcuni studenti cominciano a non credere più nella correttezza della prima o semplicemente diventano frustrati.Tall, 1976, pp. 10–14. Inoltre i metodi di dimostrazione più sofisticati non sono più efficaci: studenti perfettamente in grado di applicare definizioni coerenti potrebbero ancora cadere in immagini intuitive quando sorpresi da un risultato in matematica avanzata, incluso lo 0,999…. Per esempio, uno studente di analisi matematica fu capace di provare che 0,333… = 1⁄3 usando una definizione di estremo superiore, ma insistette che 0,999…<1 basandosi sulla sua recente comprensione delle divisioni lunghe.Pinto e Tall, p. 5, Edwards e Ward, pp. 416–417. Altri ancora sono stati capaci di dimostrare che 1⁄3 = 0,333…, ma, messi a confronto con la dimostrazione frazionaria, insistono nel dire che la logica soppianta i calcoli matematici.
Il matematico Josef Mazur racconta la storia di un suo brillante studente di calcolo che «sfidava quasi tutto quello che dicevo in classe ma non dubitava mai della sua calcolatrice» e che era arrivato a credere che nove cifre sono tutto quello che serve per fare matematica, incluso il calcolo della radice quadrata di 23. Lo studente rimase a disagio con una piccola discussione sul fatto che 9,99… = 10, chiamandola «processo selvaggio immaginario a crescita infinita».Mazur, pp. 137–141.
Come parte della "Teoria APOS" sull'insegnamento matematico di Ed Dubinsky, Dubinsky e i suoi collaboratori (2005) hanno proposto che la percezione di 0,999… come stringa indeterminata ma finita con una distanza infinitamente piccola da 1, riveli gli studenti che "non abbiano ancora definito un processo di comprensione completo dei decimali infiniti". Gli altri studenti che hanno sviluppato un processo di comprensione completo del numero 0,999… potrebbero essere incapaci di "incapsulare" quel processo in una "concezione dell'oggetto" come la concezione dello stesso possa avere valore 1, e così vedono il processo 0,999... incompatibile con il valore 1. Dubinsky et al. hanno anche collegato questa abilità dell'incapsulazione di vedere 1⁄3 come un numero come gli altri e di trattarlo con un set di numeri naturali nel suo complesso.Dubinsky et al., pp. 261–262
Dimostrazioni Algebra Frazioni Un motivo per cui i decimali infiniti sono un'estensione necessaria di quelli finiti è quello di rappresentare le frazioni. Usando la divisione, una semplice frazione di interi come 1⁄3 diventa un numero periodico, 0,333…, nel quale le cifre si ripetono all'infinito. Questo numero decimale porta a una rapida dimostrazione di 0,999… = 1. La moltiplicazione di 3 volte 3 produce 9 su ogni cifra, quindi 3 × 0,333… è uguale a 0,999…. E 3 × 1⁄3 è uguale a 1, quindi 0,999… = 1.cf. con la versione binaria dello stesso argomento in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
Un'altra forma di questa dimostrazione moltiplica 1⁄9 = 0,111… per 9.
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Una versione ancora più semplice della stessa dimostrazione si basa sulle seguenti equazioni:
Siccome sono valide entrambe le frazioni, per la proprietà transitiva 0,999… deve essere uguale 1. Similmente 3⁄3 = 1 e 3⁄3 = 0,999…. Quindi 0,999… deve uguagliare 1.
Manipolazione delle cifre Un altro tipo di dimostrazione si adatta più facilmente ad altri decimali periodici. Quando un numero in notazione decimale viene moltiplicato per 10 le cifre non cambiano, ma viene spostato il separatore decimale di una posizione verso destra. Quindi 10 × 0,999… è uguale a 9,999…, che è maggiore di 9 rispetto al numero originale.