In fluidodinamica, lo strato limite, più precisamente detto strato limite di quantità di moto,In quanto con l'accezione strato limite, nell'ambito dei fenomeni di trasporto, presenta un significato molto più ampio di quello sopra descritto. è una zona ideale di un flusso dove gli effetti causati dalla prossimità di una parete sono molto più marcati rispetto ad una zona esterna. Solitamente tale zona è individuata in uno strato di fluido nelle immediate vicinanze di una superficie solida.

Teoria dello strato limite La teoria dello strato limite si basa sull'intuizione dell'aerodinamico tedesco Ludwig Prandtl, che dimostrò poi con evidenze sperimentali agli inizi del '900, la validità delle ipotesi fatte. Prandtl indicò come strato limite la zona al cui interno la velocità differisce per più dell'1% dalla velocità della porzione esterna di fluido, assumendo per l'esterno il modello di moto a potenziale. Prandtl ipotizzò inoltre che le dimensioni dello strato limite fossero piccole rispetto alle dimensioni del campo di moto esterno, assumendo che lo strato inizi in corrispondenza del bordo di ingresso della lastra. Di conseguenza, per le ipotesi fatte, le linee di corrente rimangono indisturbate fin tanto che non intersecano il bordo dello strato limite, iniziando da questo punto in poi a deflettere leggermente a causa del rallentamento della corrente.

Per correnti ad alti numeri di Reynolds è possibile confinare gli effetti della viscosità all'interno di una zona limitata adiacente alla parete; il flusso nella zona esterna si può considerare potenziale. Questo tipo di approssimazione semplifica notevolmente le equazioni di Navier-Stokes, permettendo di ottenere soluzioni approssimate. Si ricorda che le equazioni di Navier-Stokes sono equazioni alle derivate parziali che, allo stato attuale degli studi matematici, non sono risolubili per via analitica (se non in casi molto semplificati), ma in generale solo per via numerica.

Lo strato limite può essere di tipo laminare, dove i filetti fluidi sono appunto lamine che seguono il contorno del corpo, oppure turbolento, dove i filetti di fluido seguono linee intricate e non stazionarie. Lo strato limite può transitare da laminare a turbolento attraverso una zona detta regione di transizione, ma non potrà mai tornare spontaneamente laminare. La transizione dallo strato laminare a quello turbolento avviene in una zona di transizione che presenta caratteristiche di non stazionarietà. La transizione viene infine favorita dall'aumentare della velocità (o più correttamente dal numero di Reynolds) e dalla rugosità superficiale del corpo e dalla forma meno affusolata del corpo.

Trattazione dello strato limite Come già accennato precedentemente la trattazione dello strato limite dipende in buona parte dalle condizioni iniziali a seconda della velocità della corrente che lambisce la parete interessata e di conseguenza dal rispettivo numero di Reynolds della corrente. Ciò nonostante si può pervenire ad una trattazione generale dello strato limite a prescindere dalla sua natura laminare o turbolenta applicando in entrambi casi le ipotesi che il moto sia di tipo:

permanente; bidimensionale; trascurabile l'effetto della forza peso; unidirezionale.

Strato limite laminare Nel caso dello strato limite laminare il problema può essere analizzato ricorrendo all'utilizzo delle equazioni di bilancio di massa per un volume di controllo e utilizzando successivamente il bilancio di quantità di moto. Applicando quindi il bilancio di massa,

dove con viene indicata la velocità del fluido che lambisce la parete, con una superficie orientataOvverosia un vettore avente modulo A, direzione normale (perpendicolare) ad A e verso uscente da A. e con δ lo spessore dello strato limite laminare. Esplicitando i singoli termini, indicando con y la direzione perpendicolare alla parete e con x la direzione parallela sia alla parete che alla corrente:

dove ql rappresenta il flusso di massa entrante dal bordo superiore. Dopo aver semplificato si ricava la seguente espressione:

A questo punto, si passa ad applicare il bilancio di quantità di moto:

per il termine a sinistra dell'equazione del bilancio di quantità di moto, che rappresenta la somma delle forze esterne agenti sul volume di controllo (volume di profondità unitaria), si ottiene

dove con τ si è indicato lo sforzo tangenziale sulla parete. Si noti inoltre che le pressioni agenti sulle facce si suppongano essere costanti, nonostante, in condizioni di corrente laminare, l'andamento delle pressioni ortogonalmente alle linee di corrente, per un fluido incomprimibile, sia di tipo idrostatico. Questa semplificazione nel caso di fluidi incomprimibili risulta comunque accettabile in virtù del fatto che lo strato limite si suppone essere di dimensioni molto ridotte. A questo punto semplificando e trascurando tutti gli infinitesimi di ordine superiore si ottiene infine

Per quanto riguarda invece il termine a destra nell'equazione del bilancio di quantità di moto si ottiene

Ricordando quindi l'espressione ricavata in precedenza per il termine ed inserendolo nell'equazione si ricava

Uguagliando i due termini ricavati si ottiene la seguente equazione

anche nota come equazione di von KármánDal nome del suo teorizzatore, l'ingegnere ungherese Theodore von Kármán. che, nel caso di moto a potenziale nello strato esterno allo strato limite laminare, supponendo che

e

si semplifica nella seguente espressione

L'equazione può inoltre scriversi anche in forma adimensionale, raccogliendo alcuni termini nel seguente modo

ottenendo quindi l'equazione di von Kármán in forma adimensionale

A questo punto l'equazione può essere integrata facilmente non appena sia nota la distribuzione delle velocità. Per fare ciò è quindi necessario conoscere la distribuzione delle velocità. Nel caso di strato limite laminare il problema è stato risolto da Blasius nel 1908 secondo cui la soluzione è espandibile in serie di potenze. Tuttavia la soluzione di Blasius risulta laboriosa per cui sono state proposte diverse altre soluzioni. Tra quelle che approssimano meglio la distribuzione delle velocità va citata sicuramente la distribuzione di PohlhausenErnst Pohlhausen fu uno dei ricercatori che lavorarono con Prandtl. proposta nel 1921 che approssima la funzione con un polinomio di 4 grado del tipo

Teoria di Blasius Per ricavare la distribuzione delle velocità secondo il modello di Blasius è necessario un approccio diverso da quello precedente. In un problema fluidodinamico la velocità del fluido immediatamente adiacente ad una superficie solida è considerata uguale alla velocità della parete stessa. A causa del fatto che la velocità varia con continuità dalla parete verso l'esterno e che il suo valore tende asintoticamente al valore esterno, lo spessore dello strato limite deve essere arbitrariamente definito, per convenzione, come lo strato di fluido all'interno del quale la velocità varia da zero fino al 99% (o 90%, o 95% a seconda della particolare convenzione che si preferisce adottare) della velocità della corrente fluida indisturbata (detta appunto velocità asintotica).

Infatti gli sforzi tangenziali diminuiscono con continuità allontanandosi dalla parete. Un osservatore invece percepisce una variazione marcata degli sforzi a causa del fatto che lo spessore dello strato limite è molto piccolo rispetto alle dimensioni del corpo.

Il modello base di questa teoria prende in considerazione l'equazione di stato dei gas perfetti:

dove p è la pressione, ρ la densità, R la costante specifica dei gas perfetti ed infine T la temperatura in kelvin.

E l'equazione di continuità della massa:

dove con il vettore V si è indicato il vettore velocità fluidodinamica, della quantità di moto:

e dell'energia:

Il sistema delle sei equazioni (tre scalari ed una vettoriale) viene semplificato con le seguenti ipotesi:

il fluido è continuo (numero di Knudsen molto minore di 1), altrimenti non sono valide le equazioni precedenti; all'interno dello strato limite le variazioni lungo la coordinata parallela al flusso sono molto minori delle variazioni lungo la coordinata normale al flusso; flusso stazionario; flusso incomprimibile; flusso viscoso.

Infatti, indicando con δ lo spessore dello strato limite (funzione in generale di x, coordinata parallela alla parete ed al flusso) e con L una dimensione caratteristica del flusso (la lunghezza della parete o il diametro di un condotto, per esempio), si avrà certamente:

e perciò si può ipotizzare che le derivate rispetto ad x siano trascurabili rispetto a quelle rispetto ad y. Considerando fluidi incomprimibili (cioè a densità costante) e solo le direzioni x ed y (quindi un flusso bidimensionale) si semplifica dapprima l'equazione di continuità della massa, che per comodità scriviamo in forma vettoriale:Si ricorda che la derivata materiale temporale di una grandezza f è:

ovvero, indicando con i pedici le derivate parziali:

Analogamente viene semplificata anche l'equazione di conservazione della quantità di moto, in forma vettoriale:

che diventa:

ed in forma estesa:

dove Dp rappresenta la diffusività cinematica.

Da queste equazioni si trascurano le derivate della componente verticale della velocità e la derivata seconda rispetto ad x della componente parallela al flusso della velocità. Ciò a causa del fatto che la velocità v è molto piccola rispetto ad u e le sue variazioni quindi sono minime. La mancanza del termine è dovuta al fatto che le variazioni lungo l'asse x siano notevolmente più piccole rispetto a quelle lungo l'asse y. Quest'ultima approssimazione fa in modo che la soluzione non risenta di tutto il dominio di integrazione, ovverosia ciò che succede a valle non perturba la soluzione a monte, semplificando notevolmente il calcolo. Il sistema delle equazioni di conservazione della massa e della quantità di moto diviene perciò:

Dette equazioni di Prandtl, anche se più propriamente solo la seconda equazione del sistema è l'equazione di Prandtl.

Accanto allo strato limite fluidodinamico, nel caso siano presenti fenomeni di trasmissione del calore nel fluido per via convettiva, può anche essere definito uno strato limite termico, come lo strato di fluido all'interno del quale la temperatura varia dal valore di parete fino al 99% (o altre percentuali a seconda della convenzione, valgono infatti le stesse considerazioni presentate per lo strato limite meccanico) del valore di temperatura esterno. L'ordine di grandezza del rapporto fra lo spessore dello strato limite fluidodinamico e quello dello strato limite termico è fornito dal numero di Prandtl.

Lo strato limite, di rilevante importanza nei problemi di aerodinamica ed in particolare nello studio delle superfici alari, è estendibile anche alla meteorologia ad allo studio delle correnti atmosferiche. È dovuto all'effetto della viscosità del fluido ed è collegato all'effetto Leidenfrost e, in particolare, al valore del numero di Reynolds (Re).

All'esterno dello strato limite il valore del numero di Reynolds è sufficientemente alto; in queste condizioni la regione esterna del flusso può essere considerata come ideale (viscosità trascurabile), che soddisfa cioè le equazioni di Eulero.

Nella regione vicino ai contorni solidi, invece questa approssimazione non può essere fatta perché bisogna rispettare le condizioni al contorno, che sono la condizione di aderenza (la velocità delle particelle di fluido a contatto con la parete deve essere nulla, in inglese è indicata come no slip condition) per lo strato limite della velocità, e la continuità del campo di temperatura sulla parete per lo strato limite termico.

Si considera quindi una lastra piana di apertura b e lunghezza . Partendo dalle equazioni di conservazione della massa e della quantità di moto, e considerando che nello strato limite , si ha

si introduce la variabile e la funzione di corrente , in modo che la soluzione trovata sarà simile per ogni x.

Si avrà