La massa elettromagnetica di un sistema indica il contributo delle interazioni elettromagnetiche alla sua inerzia. Si tratta di un concetto classico introdotto per la prima volta nel 1881 da Joseph J. ThomsonJoseph John Thomson, On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies, Philosophical Magazine. 5. Vol. 11, no. 68. pp. 229–249, 1881Kirk T. McDonald, On the History of the Radiation Reaction, Princeton University (2017), Parte 6: J.J. Thomson and Electromagnetic Mass. La massa elettromagnetica costituisce, al pari dell'induttanza o della forza di Abraham-Lorentz, un fenomeno di auto-interazione, nel senso che un corpo carico interagisce con il proprio campo elettromagnetico. È espressa in chilogrammi (kg) nel Sistema internazionale di unità di misura (SI).
Causa fisica
In origine si riteneva che la massa di un corpo (ovvero la sua resistenza all'accelerazione) fosse esclusivamente legata alla quantità di materia in esso contenuta. Tuttavia, le leggi dell'elettromagnetismo classico mostrano che due corpi contenenti la stessa quantità di materia possono presentare masse diverse.
Dimostrazione
Per illustrare ciò, consideriamo un sistema composto da due cariche elettriche puntiformi q1 e q2 separate da una distanza r.
Quando il sistema è in quiete, le forze elettriche reciproche tra le due cariche sono uguali e opposte (legge di Coulomb), il che implica che la risultante di tali forze è nulla.
Se ora si impone all'intero sistema un'accelerazione diretta verso destra (mantenendo costante la distanza r tra le due cariche), la situazione cambiaDavid J. Griffiths, Russell E. Owen, Mass renormalization in classical electrodynamics, Am. J. Phys. 51, 1120–1126 (1983): il campo elettrico prodotto da ciascuna carica non si propaga istantaneamente, ma alla velocità della luce (c = 299 792 458 m/s), quindi la forza subita da ciascuna carica non dipende più dalla posizione attuale dell'altra carica, bensì dalla sua posizione ritardata (t' = t − r/c). Di conseguenza, la forza esercitata da q2 su q1 diventa leggermente più intensa della forza esercitata da q1 su q2. Questo squilibrio conduce alla comparsa di una forza totale Fauto agente sull'intero sistema. Tale forza è diretta verso sinistra e tende quindi a opporsi all'accelerazione, .
Per calcolare Fauto, occorre calcolare la forza elettrica esercitata da ciascuna carica sull'altra, tenendo conto degli effetti di ritardo nella propagazione del campo elettrico. A tale scopo si può utilizzare la relazione F = q E e calcolare il campo elettrico E prodotto da ciascuna carica mediante il modello di Darwin, che permette di approssimare l'espressione dei campi fino all'ordine 1/c² in approssimazione quasi-stazionariaJonas Larsson, Electromagnetics from a quasistatic perspective, Department of Physics, Umeå University, SE-90187 Umeå, Svezia, 2006. L'espressione generale del campo E è:
dove tutte le grandezze sono istantanee (cioè valutate all'istante presente t). Il primo termine rappresenta il campo coulombiano, e il secondo è un termine correttivo, causato dall'accelerazione delle cariche, che tiene conto precisamente degli effetti di ritardo.
Come menzionato in precedenza, il primo termine (pur essendo di ampiezza molto maggiore rispetto al secondo) produce forze uguali e opposte. Il termine legato all'accelerazione, invece, può produrre forze che non sono uguali e opposte. Calcolando la forza totale di auto-interazione Fauto agente sul sistema si ottiene:
La forza totale ottenuta è proporzionale a e aumenta la resistenza del sistema all'accelerazione. Si può quindi considerare (per definizione) che essa aumenti la massa del sistema, con la variazione di massa Δm data (applicando il secondo principio di Newton) da:
Chiamando questa variazione di massa la "massa elettromagnetica di interazione" delle due cariche, si ottiene:
Si noti che se le cariche q1 e q2 hanno lo stesso segno, la massa elettromagnetica ottenuta è positiva (si parla di eccesso di massa), mentre se le cariche hanno segno opposto, la massa elettromagnetica è negativa (si parla di difetto di massa).
Indicando con m1 la massa della carica q1, con m2 la massa della carica q2, e con Mtot la massa totale del sistema {q1+q2}, si ha infine:
Conclusione: Le leggi dell'elettromagnetismo classico mostrano che le interazioni a distanza tra particelle cariche possono influire sulla massa globale di un sistema, il che implica che l'inerzia di un corpo non dipende esclusivamente dalla quantità di materia in esso contenuta. La comparsa di una massa di interazione è causata dalla finitezza della velocità con cui i campi si propagano nello spazio (c). Così, ad esempio, un condensatore carico sarà più massivo dello stesso condensatore scarico, anche se entrambi sono composti dallo stesso numero esatto di particelle e non vi è stato alcuno scambio di materia con l'esterno.
Orientazione trasversale
Considerando ora la situazione in cui l'accelerazione del sistema di due cariche puntiformi è ortogonale all'asse della coppia di cariche (θ = 90°), si trova, per la forza di auto-interazioneTimothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to an inertial mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 46, 383–385 (1978):
il che implica:
La massa di interazione ottenuta è due volte inferiore rispetto al caso longitudinale.
Per comprendere qualitativamente l'emergere di questa forza di auto-interazione in configurazione trasversale, ci si può collocare nel riferimento accelerato delle due cariche e osservare che le linee del campo elettrostatico vi appaiono curveMaria Becker, Adam Caprez, Herman Batelaan, On the Classical Coupling between Gravity and Electromagnetism, Atoms, 2015, così come lo è la traiettoria di una palla da tennis in un campo gravitazionale. Ciascuna carica sperimenterà quindi una leggerissima componente di forza elettrica nel senso opposto all'accelerazione, con Ex ~ Ey·(ar/c²) (seguendo il principio di equivalenza della relatività generale, le linee del campo elettrostatico risultano ugualmente curve per una carica in quiete in un campo gravitazionaleTimothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to a gravitational mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 47 (1979) 129–131). Se le cariche hanno segno opposto, la forza di auto-interazione è diretta nel verso di .
Orientazione arbitraria
Se l'asse della coppia di cariche forma un angolo θ qualsiasi con il vettore accelerazione , la massa elettromagnetica di interazione delle due cariche è:
dove il fattore (1 + cos² θ) può variare tra 1 e 2.
Comparsa di una forza ortogonale all'accelerazione
Quando θ non è né uguale a 0° né uguale a 90°, compare anche una forza di auto-interazione perpendicolare all'accelerazione (), in aggiunta a quella colineare all'accelerazione:
Tuttavia, solo può essere considerata come contribuente all'inerzia del sistema. Per riferimento:
è massimizzata quando θ = 45°, come si può verificare tramite l'identità trigonometrica:
poiché sin(2θ) è massimizzato per θ = 45°.
Esempi
Difetto di massa dell'atomo di idrogeno
Un atomo di idrogeno è composto da due particelle con cariche elettriche opposte (un protone e un elettrone) in interazione.
Le masse rispettive di un protone e di un elettrone isolati sono:
La loro somma è:
La massa reale (sperimentale) dell'atomo di idrogeno è:
Si trova:
La differenza tra le due masse (il difetto di massa) è:
Questo difetto di massa è precisamente la massa elettromagnetica di interazione (in questo caso negativa) tra il protone e l'elettrone. Essa è circa 100 milioni di volte più piccola della massa totale dell'atomo di idrogeno.
Massa elettromagnetica di una sfera carica
Consideriamo una sfera di raggio R.
Sfera uniformemente carica in volume
Se la sfera porta una densità di carica volumetrica uniforme ρ in tutto il suo volume, la sua massa elettromagnetica può essere calcolata integrando le forze di interazione reciproca tra tutte le coppie infinitesime di cariche. La massa elettromagnetica di tale sfera carica è data da:
Si può anche esprimere lo stesso risultato in funzione della carica totale Q portata dalla sfera:
Sfera uniformemente carica in superficie
Consideriamo ora che la sfera sia carica in superficie, con una densità superficiale di carica σ uniforme. Si ha alloraDavid J. Griffiths, Resource Letter EM-1: Electromagnetic Momentum, Am. J. Phys. 80, 7–18 (2012):
ovvero:
Relazione tra massa elettromagnetica e quantità di moto del campo
Oltre all'utilizzo della relazione m = F/a, esiste un secondo metodo per calcolare la massa elettromagnetica di un sistema: esso consiste nel calcolare la quantità di moto del campo elettromagnetico per una velocità arbitraria, e poi utilizzare m = p/v. La quantità di moto del campo elettromagnetico è data da:
Per due corpi 1 e 2 in interazione:
il che implica:
Tra i quattro termini ottenuti, i primi due corrispondono alle masse elettromagnetiche individuali dei corpi 1 e 2. Se si desidera calcolare unicamente la massa elettromagnetica di interazione tra 1 e 2, occorre prendere in considerazione solo gli ultimi due termini.
Questo metodo di calcolo della massa elettromagnetica permette di ritrovare esattamente gli stessi risultati del metodo m = F/a in tutte le situazioni (entrambi i metodi derivano dalle equazioni di Maxwell e dalla forza di Lorentz).
Alla fine del XIX secolo, alcuni fisici si spinsero fino a sostenere che la massa «meccanica» non esistesse, e che il 100% della massa dei corpi fosse in realtà di origine elettromagnetica. Tuttavia, una tale ipotesi implica ad esempio di dover considerare l'elettrone e le altre particelle elementari come distribuzioni sferiche di carica, il che non può essere ammesso senza una conoscenza dettagliata della struttura interna di tali particelle. Inoltre, oggi sappiamo che altre interazioni della natura, come la gravitazione e l'interazione nucleare forte, possono anch'esse influire sulla massa dei corpi (i difetti di massa nucleari ne sono una chiara illustrazione).
Relazione con l'energia potenziale elettrostatica e E=mc²
L'energia potenziale di interazione elettrostatica di due cariche puntiformi q1 e q2 è data da:
Dai risultati precedenti per la massa elettromagnetica di interazione, ciò implica che per un sistema di due cariche orientate lungo un asse parallelo al vettore accelerazione (θ = 0°), si ha:
Se l'asse su cui si trovano le cariche è ortogonale al vettore accelerazione (θ = 90°), si ha:
Il caso trasversale è quindi in accordo con la relazione generale di Albert Einstein che lega la massa e l'energia (E=mc²), mentre il caso longitudinale differisce da questa formula di un fattore 2.
Il problema 4/3
Se si considera una distribuzione di carica sferica (che la carica sia distribuita sulla superficie della sfera o nel suo volume), si trova sempreThe Feynman Lectures on Physics, Volume II, Cap. 28: Electromagnetic Mass:
Questa discrepanza tra i risultati dei due approcci (E=mc² e la teoria elettromagnetica) ha dato luogo a numerosi dibattiti sin dall'inizio del XX secolo. È questo il cosiddetto paradosso 4/3.
Le tensioni di Poincaré
Una delle proposte più note per risolvere questo paradosso fu avanzata nel 1906 da Henri Poincaré: essa consiste nell'osservare che un sistema carico è fondamentalmente instabile e tenderebbe a disgregarsi in assenza di forze esterne non elettromagnetiche che lo stabilizzino. L'idea di Poincaré è che queste forze non elettromagnetiche, le tensioni di Poincaré, correggano le discrepanze di massa tra quelle previste dalle leggi dell'elettromagnetismo e quelle previste da E=mc².
Fissione nucleare