Equazione differenziale di Bernoulli

In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine.

Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:

con costante. Se e:

è una soluzione dell'equazione lineare:

allora si ha che è una soluzione di:

e ogni equazione di questo tipo ha una soluzione per per ogni .

Metodo di risoluzione Il metodo di risoluzione fu trovato da Jakob Bernoulli I. Per o l'equazione è riconducibile immediatamente alla soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine. Il metodo risolutivo generale, con n reale qualunque richiede di dividere l'equazione per (tenendo conto del fatto che, per , rappresenta una soluzione del primo tipo, e che invece per la funzione deve essere necessariamente diversa da 0 per la condizione di esistenza della funzione che la definisce), ottenendo:

Si effettua poi la sostituzione , da cui:

si ha:

che rientra nel caso generale delle equazioni di primo grado. Riscrivendo come:

e integrando, si ottiene:

da cui poi si ricava la .

Una variante consiste nel sostituire direttamente:

nell'equazione:

in modo che si ha:

da cui:

quindi sostituendo e semplificando:

Esempio Sia dato:

dividendo si ha:

ponendo :

e integrando:

Ricordando che , l'unica radice reale per è:

Bibliografia Boyce, W. E. e DiPrima, R. C., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: Wiley, p. 28, 1992. Ince, E. L., Ordinary Differential Equations. New York: Dover, p. 22, 1956. Rainville, E. D. e Bedient, P. E., Elementary Differential Equations. New York: Macmillian, pp. 69–71, 1964. Simmons, G. F., Differential Equations, With Applications and Historical Notes. New York: McGraw-Hill, p. 49, 1972.

Voci correlate Equazione di Riccati Equazione differenziale di Abel Equazione differenziale lineare Equazione differenziale ordinaria

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