Da dove viene la matematica: Come la mente situata porta in essere la matematica è un libro del linguista cognitivista George Lakoff e dello psicologo Rafael E. Núñez. Il libro si propone di fondare una scienza cognitiva della matematica, o una teoria della matematica incorporata. È notevole soprattutto per il dialogo che ha originato fra matematici, linguisti e psicologi a proposito del radicamento delle dimostrazioni matematiche.
Il libro propone e tenta di intraprendere un'analisi cognitiva della matematica che analizzi le idee matematiche in termini delle esperienze umane, metafore, generalizzazioni ed altri meccanismi cognitivi che ad esse danno luogo. In definitiva, sostiene il libro, la matematica è un risultato dell'apparato cognitivo umano e deve pertanto essere compresa in termini cognitivi. Questa analisi è distinta dalla pratica matematica di per sé e non può essere intrapresa da matematici non formati nelle scienze cognitive. La matematica è oggettiva.
Il platonismo nella filosofia della matematica viene respinto: tutto ciò che conosciamo e potremo mai conoscere è la matematica umana, la matematica scaturita dai nostri cervelli, e la questione se esista oggettivamente una "matematica trascendente" è pertanto irrefutabile e quasi senza senso.
La matematica non è un'opinione. Che me ne importa di linguisti o psicologi?
Tra i tecnici, c'è un consenso che la matematica sia un punto di vista neutrale, in effetti che se la logica di per sé è un valido mezzo investigativo, la matematica debba egualmente esserlo. La matematica è in qualche senso "utile", e nella misura in cui è egualmente utile a due esseri umani, è "neutrale". Tuttavia, nei primi decenni del Novecento, l'ontologia fondamentale dell'algebra era in dubbio: Alfred North Whitehead, Bertrand Russell, e Kurt Gödel avevano stabilito che la logica e la teoria degli insiemi erano in qualche senso radicate in qualcos'altro, qualcosa di geometrico e di molto "reale".
Nel tardo Novecento, iniziò a crescere una letteratura della matematica e dei suoi fondamenti nel campo delle scienze cognitive: Amos Tversky, Daniel Kahneman ed altri misero alla prova la rigida prospettiva dualista/occidentale delle relazioni soggetto-oggetto che aveva dominato la matematica dai tempi di Cartesio, con un consenso crescente che la cognizione umana condividesse molti condizionamenti.
In parallelo, George Lakoff e Mark Johnson svilupparono una critica delle metafore, ed un modello soggetto/relazione/oggetto più generalizzato basato sulla metafora concettuale.
Nel frattempo, i postmodernisti, soprattutto Michel Foucault, svilupparono una critica profonda all'etica, alla teologia ed alla filosofia occidentale, centrata sull'assenza di qualsiasi modello del corpo umano vivente ed agente. Come se il "cogito ergo sum" di Cartesio fosse una prospettiva letterale e divina del cosiddetto "mondo reale", e la matematica stessa fosse oggettiva ed immutabile: sempre scoperta, mai inventata. Ciò era contrario ad un insieme crescente di riprove nella fisica quantistica, che dimostrarono che gli osservatori in realtà alterano ciò che osservano, e che il processo stesso della cognizione umana cambia la "realtà".
Una teoria situata?
Il termine "situato" venne gradualmente a riflettere prospettive che assumevano un corpo osservatore, e che tenevano conto dei limiti imposti dalla sua fragilità e (in alcune analisi) dalla sua moralità. Il pensiero postmoderno divergé aspramente dal pensiero matematico, ed i filosofi del corpo quali Marilyn Waring e John Zerzan iniziarono a mettere in dubbio senza mezzi termini lo stesso concetto di Numero come guida alle scelte umane.
Una "scienza cognitiva della matematica" avrebbe dovuto unificare queste svariate critiche, e superare gravi lacune professionali e culturali - non soltanto dentro il mondo occidentale, ma anche fra i popoli indigeni ed altri la cui visione del mondo fosse guidata da qualcosa di molto diverso dalla matematica. Alcune di queste società erano persistite e prosperate per millenni senza alcuna idea sofisticata dell'algebra moderna, benché tipicamente avessero la geometria elementare. Questa era una delle tante anomalie che i presupposti occidentali sulla cultura non riuscivano a spiegare: ad esempio, come sofisticati progetti edili fossero stati condotti senza la maggior parte dei metodi algebrici usati dagli ingegneri moderni.
Il corpo e i sensi creano la matematica?
La "scienza cognitiva della matematica" come definita da George Lakoff e Rafael E. Núñez è "una teoria situata delle idee matematiche derivata dalle scienze cognitive contemporanee e coerente con esse". Sostiene che "la matematica è radicata nell'attività cognitiva quotidiana degli esseri umani anziché in qualche aldilà platonico trascendente." In altre parole, che il corpo umano ed i sensi sono ciò che crea la matematica, e che questa può essere condivisa con altri esseri umani, solo perché sono così simili a noi. "La matematica potrebbe esserci oppure no nel mondo, ma non c'è modo per noi di affermarlo scientificamente," sostiene il Dott. Lakoff. La matematica ha successo nella scienza, sostengono i Dott. Lakoff e Nunez nel loro libro, soltanto perché gli scienziati la costringono a funzionare. "Tutta l'"aderenza" tra la matematica e le regolarità del mondo fisico avviene nelle menti dei fisici che comprendono entrambe le cose."
Alcuni definiscono ciò un rifiuto postmoderno di accettare un universo radicalmente autonomo a cui noi non interessiamo affatto. Ma obiezioni del genere sembrano molto modeste.
Cervelli in natura
Alcuni critici, tra cui Tom Seigfried, affermano che i sostenitori della scienza cognitiva della matematica "ignorano il fatto che i cervelli non soltanto osservano la natura, ma ne sono anche parte.... [e non riescono a spiegare come la matematica possa] parlare di fenomeni mai sospettati prima." Come altri sostenitori della controversa ontologia fondamentale della fisica delle particelle—che alcuni considerano il modo migliore di comprendere "il livello fondamentale della realtà"—Seigfried argomenta che il potere della matematica di prevedere ciò che gli esseri umani percepiranno è una dimostrazione della sua obiettività:
"Molti scienziati sospettano che il successo della matematica comunichi una profonda verità sull'universo, rivelando una inerente struttura matematica che domina il cosmo, o almeno lo rende comprensibile." ...agli scienziati. "Se la matematica è una invenzione umana, sembra che la natura sapesse cosa sarebbe stato inventato."
Questa argomentazione è ben nota, e fu riassunta al meglio dal fisico Eugene Wigner in L'irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali ("The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences"), 1960: "L'enorme utilità della matematica nelle scienze naturali è qualcosa che rasenta il misterioso di cui non c'è alcuna spiegazione razionale."
Qual è l'agenda?
Il Santa Fe Institute dà a George Lakoff e Rafael E. Núñez il merito per Il radicamento dell'aritmetica, della teoria degli insiemi e della logica formale nel cervello e nel corpo. La struttura cognitiva dell'infinito attuale (l'infinito come una "cosa") per un'ampia varietà di casi: l'insieme infinito dei numeri naturali, i punti all'infinito, l'induzione matematica, i decimali infiniti e i reali, i limiti ed i minimi estremi superiori, gli infinitesimali e gli iperreali, ed i numeri transfiniti. La struttura concettuale caratterizzante il significato di , che ci consente di caratterizzare in termini cognitivi ciò che l'identità di Eulero significa realmente e perché è vera sulla base di ciò che significa.
Ciò tenta di rispondere ad una domanda che ha tormentato i filosofi della matematica da quando Bertrand Russell ed Alfred North Whitehead fallirono nell'intento di radicare l'aritmetica nella teoria degli insiemi e nella logica formale, nel 1912. Su cosa si basa la matematica?
L'ambizioso programma dei cognitivisti è di permettere di far risalire tutte le dimostrazioni della matematica ai "quattro processi distinti ma correlati [che] strutturano metaforicamente l'aritmetica di base: la raccolta di oggetti, la costruzione di oggetti, l'uso di una canna metrica e lo spostarsi lungo un percorso." O, per quelle dimostrazioni che non possano essere così rintracciate, di metterle da parte come numerologia.
Matematica e politica
Questo non è il primo tentativo di mettere alla prova la matematica e la fisica come arbitri primari della realtà condivisa dagli esseri umani. Almeno dai primi anni '60, alcuni hanno sostenuto che le scienze militari segrete, la fabbricazione di armi nucleari, e la loro supposta "utilità" sono la prova che gli esseri umani continuano a costruire ed estendere i loro modelli anche dopo che questi si sono ormai dimostrati controproducenti per le vite umane, se non per l'intero pianeta. Alcuni critici postmoderni (compreso John Zerzan) e femministi (compresa Marilyn Waring) sostengono che la prospettiva radicalmente autonoma del Numero manipola il mondo con efficacia soltanto da un certo punto di vista - quello di una "cultura dominante". E che in tempi recenti questa prospettiva si è dimostrata tutt'altro che "utile".
Naturalmente, questo è un argomento politico, ma la scienza non è immune alla politica. E neanche ai rimpianti. Dopo che la sua rivoluzionaria teoria della relatività fu sfruttata per costruire la prima arma nucleare, Albert Einstein lamentò:
"Se solo lo avessi saputo, avrei fatto l'orologiaio."
Matematica del fare, matematica del sentire
Il lamento di Einstein evidenzia il problema delle scelte etiche negli esperimenti - una questione di vecchia data che mette alla prova la falsificabilità come prova di verità - se non osate testare una teoria, come fate ad affermare che è vera? Se la sperimentate mettendo in pericolo persone di cui voi od altri si preoccupano, state guadagnando consensi per la teoria attraverso la "sperimentazione" o attraverso la "paura", cioè, il consenso dipende dal terrore di spingere lo scienziato ad un esperimento? Se è così, come fa lo scienziato a conoscere cosa è reale?
Quando i primi osservatori di una esplosione nucleare videro la nube a forma di fungo, e si accorsero che l'atmosfera non si era incendiata (cosa che non poteva essere prevista fino a quel momento), si guardarono forse l'un l'altro accennando felicemente che la matematica era stata convalidata? Oppure, come preferirebbero i filosofi del corpo, calcolarono il probabile impatto della loro azione sui corpi, empatizzandolo, e si ritirarono con orrore?
"La matematica potrebbe esserci oppure no nel mondo," ma noi certamente ne sentiamo l'impatto sui nostri corpi, p.es. come proiettili che obbediscono a f = ma, o come freddo dovuto ad uno sfratto invernale per mancanza di una certa quantità di credito. La cosa più sicura che possiamo dire sulla matematica è che descrive qualcosa che facciamo e che ciò è correlato ad altre cose che sentiamo. Ma è reale per le piante come lo è per gli animali? Per le ecologie come per le infrastrutture?
Se noi esseri umani non la mettessimo per iscritto, quanta matematica esisterebbe?
La matematica si applica ad altre forme di vita?
Alcuni mettono in dubbio l'affermazione di Lakoff secondo cui "non c'è modo per noi di affermarlo scientificamente," e fanno notare che la storia delle scienze cognitive sta trovando modi di sperimentare tesi precedentemente fondate solo sull'autodescrizione.