Talvolta definito «il Principe dei matematici» (Princeps mathematicorum) come EuleroCome ricordano Giorgio Bagni e Bruno D'Amore ("A trecento anni dalla nascita di Leonhard Euler", in Scuola ticinese, vol. 36, n. 281, 2007, pp. 10-11), «Gauss sarà detto princeps mathematicorum sulla base di una medaglia d'oro ricevuta nel 1855 dall'Università di Gottinga con tale appellativo; ma più di un secolo prima Eulero era stato chiamato princeps mathematicorum su proposta del suo maestro, Giovanni Bernoulli, in una lettera del 23 settembre 1745». o «il più grande matematico della modernità» (in opposizione ad Archimede, considerato dallo stesso Gauss come il maggiore fra i matematici dell'antichità), è annoverato fra i più importanti matematici della storia avendo contribuito in modo decisivo all'evoluzione delle scienze matematiche, fisiche e naturali. Definì la matematica come «la regina delle scienze».Smith, S. A., et al. 2001. Algebra 1: California Edition. Prentice Hall, New Jersey. ISBN 0-13-044263-1

Biografia Infanzia e prime scoperte (1777-1798)

Gauss nacque a Braunschweig, nel ducato di Brunswick-Lüneburg (al secolo facente parte del Sacro Romano Impero, oggi situato invece nello stato federato tedesco della Bassa Sassonia), il 30 aprile del 1777, figlio unico di una famiglia di bassa estrazione sociale e culturale. Fu battezzato e cresimato in una chiesa vicino alla scuola che poi frequentò da bambino. Gauss era un bambino prodigio e svariati sono gli aneddoti sulla sua precocità matematica; ad esempio, all'età di soli tre anni, almeno secondo la leggenda, avrebbe corretto un errore del padre nel calcolo delle sue finanze.

Un altro aneddoto, più verosimile, racconta che a 9 anni il suo insegnante, J.G. Büttner, per mettere a tacere i turbolenti allievi ordinò loro di fare la somma dei numeri da 1 a 100. Quasi subito il bimbo Gauss diede la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante ed il suo assistente Martin Bartels. Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss; forse mise in una riga i numeri da 1 a 100 e in una riga sotto i numeri da 100 a 1, e vide che ogni colonna dava come somma 101: Carl moltiplicò 100 × 101 e divise per due, ottenendo il risultato; oppure - ancora più semplicemente - scrisse in fila i numeri da 1 a 50 e in una fila sotto in senso inverso i rimanenti da 51 a 100, ottenendo così per ogni coppia la somma costante di 101: il risultato era quindi 101 × 50.

I dettagli della storiella sono incerti (vedere per la discussione della fonte originaria di Wolfgang Sartorius von Waltershausen e i cambiamenti in altre versioni); Joseph Rotman, nel suo libro A first course in Abstract Algebra, si chiede se ciò sia realmente accaduto. Joaquín Navarro sostiene che in realtà Büttner aveva assegnato un compito ancora più complesso, la somma dei primi 100 numeri della serie 81297 + 81495 + 81693... nella quale ogni termine differisce dal precedente per il valore di 198 e che Gauss lo risolse in pochi minuti come detto prima.

Il Duca di Brunswick, impressionato dalle sue capacità, finanziò il soggiorno di Gauss al Collegium Carolinum (oggi Technische Universität Braunschweig) dal 1792 al 1795, anno in cui passò all'Università di Gottinga, dove studiò fino al 1798.

All'università Gauss riscoprì una serie di importanti teoremi: nel 1796 riuscì a dimostrare che un poligono regolare con un numero di lati che è un primo di Fermat è costruibile con riga e compasso (e, conseguentemente, tutti i poligoni con un numero dei lati che è il prodotto di primi di Fermat distinti e una potenza di due). Questa fu una grande scoperta in un importante campo della matematica; la costruzione dei poligoni aveva occupato i matematici fin dall'epoca degli antichi greci, e la scoperta dette modo a Gauss di scegliere di intraprendere la carriera di matematico anziché di filologo.

Gauss era così eccitato dal risultato ottenuto che richiese che un eptadecagono gli fosse inciso sulla lapide, ma lo scalpellino rifiutò dicendo che esso non sarebbe stato distinguibile da un cerchio.Pappas, Theoni: Mathematical Snippets, Page 42. Pgw 2008

Il 1796 fu probabilmente l'anno più produttivo di Gauss. Riuscì a costruire un eptadecagono,Carl Friedrich Gauss §§365–366 in Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig, Germany, 1801. New Haven, CT: Yale University Press, 1965. inventò l'aritmetica modulare, importantissimo strumento della teoria dei numeri e dette la prima dimostrazione della legge di reciprocità quadratica; congetturò per primo la validità del teorema dei numeri primi, dando un'idea chiara del modo in cui i numeri primi siano distribuiti fra gli interi; scoprì poi che tutti i numeri naturali sono rappresentabili al più come somma di tre numeri triangolari. Tuttavia Gauss non pubblicò queste due ultime scoperte, le tenne per sé: era affetto da una sorta di mania di perfezionismo, che gli impediva di pubblicare dimostrazioni se non le giudicava rigorose. Scriveva invece le sue scoperte nel suo diario in maniera criptica. Per esempio, la scoperta che ogni intero poteva essere rappresentato come somma al più di tre numeri triangolari, la scrisse così sul suo diario: «Eureka! num= ». Il primo ottobre, pubblicò un risultato sul numero di soluzioni dei polinomi con coefficienti in campi finiti, che 150 anni dopo portò alle congetture di Weil.

Maturità (1799-1830)

Nel 1799, nella sua tesi di dottorato Una nuova dimostrazione del teorema per il quale ogni funzione algebrica integrale di una variabile può essere risolta in fattori di primo o secondo grado, Gauss dimostrò il teorema fondamentale dell'algebra. Molti matematici avevano provato a dimostrarlo tra cui Jean le Rond d'Alembert ed Eulero. Prima di lui, altri matematici, incluso Jean Baptiste Le Rond d'Alembert, avevano proposto false dimostrazioni del teorema, e Gauss criticò apertamente il lavoro di d'Alembert. Paradossalmente, secondo le conoscenze del tempo, la dimostrazione di Gauss non è accettabile, in quanto faceva implicitamente utilizzo del teorema della curva di Jordan. Gauss produsse in seguito quattro diverse dimostrazioni; l'ultima, generalmente precisa, del 1849, chiarì il concetto di numero complesso.

Gauss diede anche un importantissimo contributo alla teoria dei numeri con il libro del 1801 Disquisitiones Arithmeticae (lett. "Discussioni aritmetiche"), che introduceva l'utilizzo del simbolo ≡ per la congruenza e lo utilizzava in una chiara presentazione dell'aritmetica modulare. Conteneva le prime due dimostrazioni della legge di reciprocità quadratica, sviluppava le teorie delle forme quadratiche binarie e ternarie, esponeva il problema del numero di classe per queste ultime, e dimostrava che un eptadecagono (poligono a 17 lati) può essere costruito con riga e compasso.

In quello stesso anno l'astronomo italiano Giuseppe Piazzi scoprì l'asteroide Cerere, ma lo poté seguire solo per alcuni giorni finché non scomparve dietro la Luna. Gauss predisse il punto esatto in cui sarebbe riapparso, facendo uso dell'appena scoperto metodo dei minimi quadrati. Cerere riapparve nel punto indicato da Gauss. Questo straordinario successo lo fece conoscere anche al di fuori dalla cerchia dei matematici. Cerere fu in seguito riscoperto da Franz Xaver von Zach il 31 dicembre 1801 all'Osservatorio di Gotha, e il giorno dopo anche da Heinrich Wilhelm Olbers nella città di Brema.

Il metodo di Gauss consisteva nel determinare una sezione conica nello spazio, dati un fuoco (il sole) e l'intersezione del cono con tre rette date (le linee dello sguardo dalla Terra, che si sta essa stessa muovendo su un'ellisse, al pianeta) e dato il tempo che impiega la Terra per attraversare gli archi formati da queste rette (da cui la lunghezza degli archi può essere calcolata grazie alla seconda legge di Keplero). Questo problema porta ad un'equazione di ottavo grado, di cui una soluzione, l'orbita della Terra, è nota. La soluzione cercata è quindi separata dalle sei rimanenti, basate su condizioni fisiche. In questo lavoro Gauss utilizzò metodi di ampia approssimazione, che egli creò appositamente.

Rendendosi conto che se l'appoggio economico del Duca di Brunswick gli fosse mancato egli sarebbe caduto in miseria occupandosi di sola matematica pura, Gauss si cercò un incarico in qualche osservatorio astronomico e, nel 1807, divenne Professore di Astronomia e Direttore dell'osservatorio di Gottinga, incarico che mantenne fino alla sua morte. Interessante in questo periodo è la sua corrispondenza con Sophie Germain, matematica che, sotto lo pseudonimo di Antoine-August Le Blanc, scrisse a Gauss 10 lettere, dal 1804 fino al 1808, in cui gli descriveva la scoperta di un particolare tipo di primo (che prese poi il nome di primo di Sophie Germain).

La scoperta di Cerere da parte di Piazzi, il 1º gennaio 1801, portò Gauss a interessarsi ai moti degli asteroidi perturbati da grandi pianeti. Le sue scoperte furono pubblicate nel 1809 nel volume Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (lett. "Teoria del moto di corpi celesti che si muovono percorrendo sezioni coniche intorno al sole").

Piazzi fu in grado di osservare e tracciare gli spostamenti di Cerere soltanto per un paio di mesi, seguendolo per tre gradi attraverso il cielo notturno, finché non scomparve dietro il bagliore del Sole. Alcuni mesi dopo, quando Cerere sarebbe dovuto riapparire, Piazzi non riuscì a localizzarlo: gli strumenti matematici del tempo non erano in grado di ricavarne la posizione con così pochi dati - tre gradi rappresentano meno dell'1% dell'orbita totale.

Gauss, che aveva 23 anni, venne a sapere di questo problema e si impegnò a risolverlo. Dopo tre mesi di duro lavoro predisse la posizione di Cerere nel dicembre 1801 - appena un anno dopo il suo primo avvistamento - con un errore di appena mezzo grado. Introdusse la costante gravitazionale di Gauss, e sviluppò il cosiddetto metodo dei minimi quadrati, una procedura usatissima ancora oggi per minimizzare l'impatto degli errori di misurazione. Gauss pubblicò tale metodo solo nel 1809, quando fu in grado di dimostrarlo adeguatamente con l'assunzione degli errori distribuiti normalmente (vedi teorema di Gauss-Markov), benché l'avesse usato sin dal 1794. Ad ogni modo, il metodo fu descritto per la prima volta nel 1805 da Adrien-Marie Legendre.

In questi anni entrò in conflitto con Adrien-Marie Legendre, poiché sembra che egli avesse scoperto senza pubblicare alcune scoperte di Legendre, come appunto il metodo dei minimi quadrati e la congettura del teorema dei numeri primi. Gauss tuttavia, uomo semplice, non si lasciò coinvolgere in queste dispute. Oggi sembra confermato che effettivamente Gauss abbia preceduto Legendre.

Gauss era un prodigioso "calcolatore mentale". Si dice che si divertisse a setacciare un intervallo di mille numeri in cerca di numeri primi appena aveva un quarto d'ora di tempo, cosa che normalmente richiederebbe ore e ore di duro lavoro. Dopo aver calcolato l'orbita di Cerere gli fu chiesto come avesse fatto a ottenere valori numerici così precisi. Rispose «Ho usato i logaritmi». L'interlocutore allibito gli chiese allora dove avesse trovato tabelle dei logaritmi che arrivavano fino a numeri così grandi. La replica di Gauss fu: «Tabelle? Li ho calcolati mentalmente».

Nel 1818 fu chiesto a Gauss di compiere la rilevazione geodetica del Regno di Hannover, associandola ai precedenti rilevamenti effettuati in Danimarca. Gauss accettò il compito, applicandovi la sua straordinaria abilità nel calcolare, unita all'utilizzazione dell'eliotropo, da lui inventato, costituito da un piccolo telescopio e da una serie di specchi che riflettevano i raggi solari a grandi distanze, per poter effettuare le misure. Intrattenne una regolare corrispondenza con Schumacher, Olbers e Bessel, in cui riportava i suoi progressi e discuteva il problema.