I parametri di scattering o parametri S (ovvero elementi di una matrice di scattering o "matrice S") descrivono il comportamento elettrico di reti elettriche lineari soggette a stimolazioni di segnali elettrici in stato stazionario. I parametri sono comunemente utilizzati nei campi dell'ingegneria elettrica ed elettronica e della progettazione dei sistemi di comunicazione, in particolare nel campo delle microonde.
I parametri S fanno parte di una famiglia di parametri similari, tra cui: parametri Y (parametri di ammettenza)Pozar, David M. (2005); Microwave Engineering, Third Edition (Intl. Ed.); John Wiley & Sons, Inc.; pp. 170-174. ISBN 0-471-44878-8., parametri Z (parametri di impedenza)Pozar, David M. (2005) (op. cit.); pp. 170-174., parametri H (parametri ibridi), parametri T (parametri di trasferimento) o parametri ABCDPozar, David M. (2005) (op. cit.); pp. 183-186.Morton, A. H. (1985); Advanced Electrical Engineering; Pitman Publishing Ltd.; pp. 33-72. ISBN 0-273-40172-6.. I parametri S differiscono dai precedenti poiché non usano condizioni di circuito aperto o di corto circuito per caratterizzare una rete elettrica lineare, bensì carichi adattati in impedenza, che quando si ha a che fare con segnali ad alta frequenza risultano più semplici da utilizzare rispetto a terminazioni in circuito aperto o corto circuito. Inoltre, le quantità sono misurate in termini di potenza.
Molte proprietà elettriche di reti di componenti (induttori, condensatori, resistori) possono essere espresse utilizzando i parametri S, tra cui guadagno, return loss, insertion loss, VSWR, coefficiente di riflessione e stabilità di un amplificatore. Il termine scattering (diffusione) è comunemente utilizzato in ottica ed indica l'effetto che si osserva quando un'onda elettromagnetica piana incide su una fenditura o si propaga attraverso mezzi dielettrici disomogenei. Nel contesto dei parametri S, l'uso del termine scattering si riferisce alle modalità con cui le onde viaggianti di corrente e tensione si comportano alle discontinuità incontrate durante il cammino di propagazione, laddove per discontinuità si intende una differenza dell'impedenza dell'elemento attualmente attraversato rispetto all'impedenza caratteristica della linea di trasmissione.
Sebbene siano strumenti matematici utilizzabili ad ogni frequenza, i parametri S trovano maggiore utilità nello studio di reti elettroniche operanti a radiofrequenza (RF) e nel range delle microonde, dove potenza ed energia del segnale sono più facilmente quantificabili rispetto alle rispettive correnti e tensioni. I parametri S di un elemento in una rete sono una funzione della frequenza di lavoro, pertanto non solo l'impedenza caratteristica di riferimento, ma anche il range di frequenza devono essere specificate per un parametro S.
I parametri S sono rappresentabili in forma matriciale e seguono le regole dell'algebra delle matrici.
Generalità Nell'approccio dei parametri S, una rete elettrica è trattata come una black box o "scatola nera" che contiene una sottorete arbitrariamente interconnessa di elementi circuitali a parametri concentrati come resistori, condensatori, induttori e transistori. Tale black box interagisce con altri circuiti esterni attraverso le sue porte. La rete può essere sintetizzata da una matrice quadrata di numeri complessi, denominata matrice dei parametri S, che può essere utilizzata per calcolare la risposta della rete a un segnale applicato alle sue porte.
La sintesi della rete con una matrice S è applicabile a ogni rete contenente numero e topologia arbitrari di componenti, purché il comportamento complessivo della rete sia lineare con i piccoli segnali incidenti in ingresso. La rete può anche includere i tipici componenti o "blocchi" dei sistemi di comunicazione come amplificatori, attenuatori, filtri elettronici, accoppiatori direzionali ed equalizzatori, fatto salvo che il loro regime operativo sia lineare.
Una rete elettrica sintetizzabile da una matrice S può avere un numero arbitrario di porte. Le porte sono gli unici punti di interazione con l'esterno della rete elettrica sintetizzata a modello black box; i segnali elettrici entrano ed escono dalle porte al mondo esterno. Le porte sono solitamente coppie di terminali con la condizione che la corrente che entra da una porta sia uguale a quella che esce dall'altra portaPozar, David M. (2005) (op. cit.); p. 170.Morton, A. H. (1985) (op. cit.); p. 33.. I parametri S sono comunemente utilizzati a frequenze dove le porte sono spesso connessioni coassiali o a guida d'onda.
La matrice S che sintetizza una rete a N porte è una matrice quadrata di dimensione N e contiene un numero di elementi, i parametri S. Ogni parametro S è rappresentato da un numero complesso adimensionale che rappresenta intensità ed angolo, cioè ampiezza e fase nel dominio elettrico. Il numero complesso può essere espresso in una delle rappresentazioni convenzionali, come la forma rettangolare, la forma polare o la carta di Smith. L'ampiezza del parametro S può essere rappresentata in forma lineare, ma più comunemente viene definita in scala logaritmica con l'unità adimensionale dei decibel. La fase del parametro S è rappresentabile in gradi o radianti. Ogni parametro S è rappresentabile graficamente su di un diagramma polare da un singolo punto per una singola frequenza o da una curva (locus) per un range di frequenze. I parametri S che afferiscono ad una sola porta (della forma ), che sono gli elementi della diagonale principale della matrice S, possono essere rappresentati su una carta di Smith di impedenza (o di ammettenza) normalizzata all'impedenza del sistema. La carta di Smith consente una semplice conversione tra il parametro equivalente al coefficiente di riflessione in tensione e l'associata impedenza (o ammettenza) (normalizzata) "vista" a quella porta. Le seguenti informazioni devono essere definite quando si specifica un insieme di parametri S: Frequenza Impedenza caratteristica nominale (spesso 50 Ω) Numerazione delle porte Condizioni al contorno della rete, come temperatura, tensione e corrente di alimentazione, se applicabile.
La matrice S generale Definizione In una generica rete multi-porte, ad ognuna delle porte è assegnato un numero intero n da 1 a N, dove N è il numero totale delle porte. Per la n-esima porta, l'associato parametro S è definito in termini di "onde di potenza" incidenti e riflesse dalla porta stessa, rispettivamente e .
KurokawaKurokawa, K., "Power Waves and the Scattering Matrix", IEEE Trans. Micr. Theory & Tech., Mar. 1965, pp. 194-202. definisce l'onda di potenza incidente alla generica porta i
e l'onda riflessa ad una porta come
dove è l'impedenza della porta i, è il complesso coniugato di , e sono rispettivamente le ampiezze complesse della tensione e della corrente alla porta i, e
È spesso utile assumere che l'impedenza di riferimento è la stessa per tutte le porte, caso nel quale le definizioni di onde incidenti e riflesse possono essere semplificate in
e
.
Per tutte le porte, le onde di potenza riflessa possono essere definite in termine della matrice dei parametri S e delle onde di potenza incidente tramite l'equazione di matrici:
dove S è la matrice N x N dei parametri S, i cui elementi possono essere indicizzati utilizzando la convenzionale notazione matriciale, mentre e sono i vettori di componenti e rispettivamente.
Reciprocità Una rete è reciproca se è passiva e se contiene solo materiali reciproci che influenzano il segnale trasmesso. Per esempio, attenuatori, cavi, splitter e combinatori sono tutti reti reciproche e , ovvero la matrice S risulta uguale alla sua trasposta. Le reti che includono materiali non reciproci nel mezzo di trasmissione come quelli contenenti componenti di ferrite polarizzata magneticamente sono non reciproche. Un amplificatore è un altro esempio di una rete non reciproca. Un'interessante proprietà delle reti a 3 porte, tuttavia, è che non possono essere simultaneamente reciproche, senza perdite e perfettamente adattatePozar, David M. (2005) (op. cit.); p. 173..
Reti senza perdite Una rete senza perdite non dissipa potenza, ovvero: . La somma delle potenze incidenti a tutte le porte è uguale alla somma delle potenze riflesse a tutte le porte. Questo implica che la matrice S è unitaria, , dove è la matrice trasposta coniugata di e è la matrice identità.
Reti con perdite Una rete passiva con perdite è quella in cui la somma delle potenze incidenti a tutte le porte è più grande della somma delle potenze riflesse a tutte le porte. Pertanto dissipa potenza ovvero: . In questo caso , e è una matrice definita positiva.
Parametri S in un quadripolo La matrice-S di un quadripolo è probabilmente la più comunemente utilizzata e funge da building block di base per la definizione di matrici di ordini superiori relative a reti più complesse. In questo caso, la relazione tra le onde di potenza riflessa ed incidente e la matrice-S è data da:
.
Sviluppando le matrici in equazioni si ha:
e
.
Ciascuna equazione definisce il rapporto tra l'onda di potenza riflessa e quella incidente per ciascuna delle porte della rete, la porta 1 e la porta 2, in termini degli individuali parametri S della rete, , , e . Se si considera un'onda di potenza incidente alla porta 1 (), ne possono derivare onde uscenti sia dalla stessa porta 1 () che dalla porta 2 (). Se tuttavia, secondo la definizione dei parametri S, la porta 2 è terminata su di un carico di impedenza identica all'impedenza del sistema () allora, secondo il teorema del massimo trasferimento di potenza, sarà totalmente assorbita rendendo quindi uguale a zero. Quindi:
e .
Allo stesso modo, se la porta 1 è terminata su di un carico di impedenza uguale all'impedenza del sistema, allora diviene zero, e si ha:
e .
I parametri S del bipolo hanno le seguenti descrizioni generiche:
è il coefficiente di riflessione in tensione della porta di ingresso è il guadagno inverso di tensione è il guadagno diretto di tensione è il coefficiente di riflessione in tensione della porta di uscita.
Proprietà dei parametri S nelle reti a due porte Un amplificatore operante in condizioni lineari (di piccolo segnale) è un buon esempio di rete non reciproca, mentre un attenuatore accoppiato è un esempio di rete reciproca. Nei casi seguenti assumeremo che le connessioni in ingresso ed in uscita siano rispettivamente con la porta 1 e la porta 2, che è la convenzione più comune. L'impedenza e la frequenza nominali del sistema e qualunque altro fattore che possa influenzare il dispositivo, come la temperatura, devono essere anch'essi specificati.
Guadagno lineare complesso Il guadagno lineare complesso G è dato da:
.
Questo è semplicemente il rapporto lineare tra la potenza dell'onda riflessa e la potenza dell'onda incidente, con tutti i valori espressi come quantità complesse. Per reti senza perdite è inferiore all'unità, per reti attive è . Risulta uguale al guadagno di tensione solo quando il dispositivo ha eguali impedenze di ingresso ed uscita.
Guadagno lineare scalare Il guadagno lineare scalare (o ampiezza del guadagno lineare) è dato da:
.
Questo rappresenta l'ampiezza del guadagno (valore assoluto), il rapporto tra potenza dell'onda in uscita e potenza dell'onda in ingresso. Poiché si tratta di una quantità scalare, la fase non è rilevante in questo caso.
Guadagno logaritmico scalare L'espressione logaritmica scalare (decibel o dB) per il guadagno (g) è:
dB.
Essa si usa più comunemente del guadagno lineare scalare. Una quantità positiva normalmente è intesa semplicemente come un "guadagno", mentre una quantità negativa è un "guadagno negativo" o "perdita", equivalente alla sua ampiezza in dB. Ad esempio, un cavo di 10 m di lunghezza può avere un guadagno di - 1 dB a 100 MHz o una perdita di 1 dB a 100 MHz.
Insertion loss