In matematica, l'espressione scomposizione di un polinomio in fattori, anche chiamata fattorizzazione di un polinomio, significa esprimere un dato polinomio come prodotto di due o più fattori polinomiali di grado inferiore. Ci sono alcuni polinomi che non possono essere espressi come il prodotto di polinomi di grado inferiore e sono detti polinomi irriducibili. La scomposizione dei polinomi è utile nelle operazioni con le frazioni algebriche p.416.
Metodi di scomposizione Raccoglimento a fattore comune
Significa mettere in evidenza dei numeri, delle lettere o entrambi che dividano tutti o alcuni degli elementi del polinomio. Se il fattore evidenziato divide tutti gli elementi si avrà un raccoglimento totale, se invece il fattore è comune solo ad alcuni, il raccoglimento sarà parziale p.417.
Un esempio di raccoglimento totale è:
In caso in cui ci siano numeri si calcola il massimo comune divisore. Per esempio:
Un esempio di raccoglimento parziale può essere:
In questo caso, il risultato ottenuto presenta anch'esso un fattore comune (il binomio ), e quindi si può procedere a un'ulteriore scomposizione dell'espressione ottenuta:
Prodotti notevoli
Alcuni polinomi sono il risultato di particolari moltiplicazioni o di elevamenti a potenza di binomi o altri polinomi (prodotti notevoli). Conoscendo in anticipo questi prodotti, è possibile, applicando a ritroso i passaggi, risalire con facilità ai fattori che li compongono.
Alcuni esempi di prodotti notevoli possono essere p.16:
Da notare attentamente la differenza di segni, in quanto le due espressioni non sono identiche bensì differiscono per il segno comportando una forma scomposta non identica.
Trinomi particolari di secondo grado I trinomi di secondo grado si dicono particolari (o caratteristici) quando sono espressi nella forma p.17:
nel quale: il coefficiente di è ; e sono due numeri reali che esprimono rispettivamente la somma e il prodotto delle due radici e del trinomio. Una volta trovati (se esistono) i due numeri e tali che e , il trinomio è scomponibile nella forma:
Ad esempio:
È quindi possibile scomporre il trinomio di secondo grado in questo modo:
In generale si avrà che:
Trinomi notevoli
I trinomi di secondo grado sono del tipo:
Se il discriminante del trinomio è positivo o nullo (), allora il trinomio può essere scomposto come p.876:
dove e sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado:
Regola di Ruffini
Dato un polinomio , ad esempio , se si riesce a trovare un numero tale che , allora il polinomio è divisibile per il binomio di primo grado , quindi applicando la regola della divisione secondo il teorema del resto si ottiene il polinomio quoziente il polinomio iniziale può quindi essere scomposto come pp.19-24:
nel caso in cui si possano ottenere tanti numeri che annullino il polinomio quanto è il grado del polinomio dato, si avrà:
Nel polinomio in esempio si considerino i numeri ottenuti come rapporto tra i divisori del termine noto ed i divisori del coefficiente del termine di grado massimo (per il teorema delle radici razionali), nel nostro caso i numeri si trova che , e , quindi si potrà scrivere:
Anche se è a rendere nullo il polinomio, si ricordi che nell'espressione generale il termine compare in anteposto da un segno meno, e quindi comporta il cambio di segno di quest'ultimo.
Di seguito un altro esempio: si consideri il polinomio ; per questo polinomio sarà . Dato che non è possibile trovare altri numeri per i quali si annulla il polinomio, si dovrà procedere con la divisione mediante la regola di Ruffini; quindi sarà:
allora il polinomio si potrà così scomporre:
Riassunto delle scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli
Ecco uno schema riassuntivo di tutte le scomposizioni riconducibili a prodotti notevolip.418:
Caso particolare di polinomio con n multiplo di 4 Sia con tali che multiplo di 4 e allora risulta la seguente uguaglianza:
Esempio:
Note
Bibliografia
Voci correlate Fattorizzazione Frazione algebrica Fattore terminale
Collegamenti esterni Spiegazione del significato geometrico della scomposizione dei polinomi.
Categoria:Polinomi