Un processo di nascita e morte è un processo stocastico markoviano a tempo continuo sullo spazio degli stati dato dall'insieme dei numeri naturali, che simula l'andamento di una popolazione i cui unici cambiamenti siano le nascite e le morti. In altre parole, se il processo si trova in uno stato n, può solamente passare o allo stato n+1 (nascita) o allo stato n-1 (morte). I processi di nascita e morte hanno importanti applicazioni in biologia, teoria delle code e demografia.

Definizione Un processo di nascita e morte è un processo stocastico su che soddisfa le seguenti proprietà: Gli incrementi sono indipendenti, ossia la quantità di passaggi di stato in intervalli disgiunti sono indipendenti tra loro. Se il processo si trova in n, la probabilità di una nascita in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ossia per

Se il processo si trova in n>0, la probabilità di una morte in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ossia per

Se il processo si trova in n, la probabilità che il processo si allontani per più di due stati è trascurabile, ossia per

Le quantità λn e μn sono i coefficienti di natalità e di mortalità.

Proprietà Il processo soddisfa la proprietà di Markov. Il processo soddisfa la proprietà di Markov forte. La probabilità che il processo resti nello stesso stato in un piccolo intervallo di tempo è data, per , da

Il tempo di attesa tra un passaggio di stato e il successivo ha legge esponenziale di parametro (λn + μn). Il processo di Poisson è un caso particolare di processo di nascita e morte nel caso in cui μn=0 e λn=λ per ogni n.

Condizioni per la ricorrenza e la transitorietà Le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà sono state stabilite da Samuel Karlin e James McGregor..

Un processo di nascita e morte è ricorrente se e solo se

Un processo di nascita e morte è ergodico se e solo se

Un processo di nascita e morte è nullo-ricorrente se e solo se

Le condizioni per la ricorrenza, la transitorietà, l'ergodicità e la ricorrenza nulla possono essere derivate in una forma più esplicita.

Per ogni intero , sia la -esima iterazione del logaritmo naturale, ossia , e per qualsiasi , .

Quindi, le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà di un processo di nascita e morte sono le seguenti.

Il processo di nascita e morte è transitorio se esistono , e , tale che per ogni si ha

dove la somma vuota per si assume che sia 0.

Il processo di nascita e morte è ricorrente se esistono e , tali che per ogni si ha

Possono essere trovate classi più ampie di processi di nascita e morte per i quali è possibile stabilire le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà.

Applicazione

Consideriamo il passeggiata aleatoria unidimensionale , , che è definito come segue. Lasciare e , , dove accetta valori , e la distribuzione di è definito dalle seguenti condizioni:

dove soddisfano la condizione , .

Il passeggiata aleatoria qui descritto è un analogo a tempo discreto del processo di nascita e morte (vedi catena di Markov) con i tassi di natalità

e i tassi di mortalità

Quindi, la ricorrenza o la transitorietà del passeggiata aleatoria è associata alla ricorrenza o alla transitorietà del processo di nascita e morte.

La passeggiata aleatoria è transitorio se esiste , e tale che per ogni

dove la somma vuota per è assunto pari a zero.

La passeggiata aleatoria è ricorrente se esiste e tale che per ogni

Note

Bibliografia

Voci correlate Teoria delle code Processo stocastico Processo markoviano

Categoria:Processi stocastici