In matematica, per approssimare una derivata di qualsiasi ordine di una funzione, è possibile agire utilizzando le differenze finite. Sono suddivise in differenze finite centrate, in avanti oppure all'indietro.
Differenze finite centrate Nella tabella seguente si riportano i coefficienti per ottenere derivate centrate di diverso ordine di accuratezza:
Derivata Accuratezza −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1 2 −1/2 0 1/2 4 1/12 −2/3 0 2/3 −1/12 6 −1/60 3/20 −3/4 0 3/4 −3/20 1/60 8 1/280 −4/105 1/5 −4/5 0 4/5 −1/5 4/105 −1/280 2 2 1 −2 1 4 −1/12 4/3 −5/2 4/3 −1/12 6 1/90 −3/20 3/2 −49/18 3/2 −3/20 1/90 8 −1/560 8/315 −1/5 8/5 −205/72 8/5 −1/5 8/315 −1/560 3 2 −1/2 1 0 −1 1/2 4 1/8 −1 13/8 0 −13/8 1 −1/8 6 −7/240 3/10 −169/120 61/30 0 −61/30 169/120 −3/10 7/240 4 2 1 −4 6 −4 1 4 −1/6 2 −13/2 28/3 −13/2 2 −1/6 6 7/240 −2/5 169/60 −122/15 91/8 −122/15 169/60 −2/5 7/240
Ad esempio, se si vuole approssimare la derivata terza con un'accuratezza del secondo ordine:
Differenze finite decentrate Nella seguente tabella si riportano invece i coefficienti per le derivate in avanti (per le derivate all'indietro dispari, ovvero la prima, la terza eccetera, è sufficiente cambiare di segno tutti i coefficienti):
Derivata Accuratezza 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 −1 1 2 −3/2 2 −1/2 3 −11/6 3 −3/2 1/3 4 −25/12 4 −3 4/3 −1/4 5 −137/60 5 −5 10/3 −5/4 1/5 6 −49/20 6 −15/2 20/3 −15/4 6/5 −1/6 2 1 1 −2 1 2 2 −5 4 −1 3 35/12 −26/3 19/2 −14/3 11/12 4 15/4 −77/6 107/6 −13 61/12 −5/6 5 203/45 −87/5 117/4 −254/9 33/2 −27/5 137/180 6 469/90 −223/10 879/20 −949/18 41 −201/10 1019/180 −7/10 3 1 −1 3 −3 1 2 −5/2 9 −12 7 −3/2 3 −17/4 71/4 −59/2 49/2 −41/4 7/4 4 −49/8 29 −461/8 62 −307/8 13 −15/8 5 −967/120 638/15 −3929/40 389/3 −2545/24 268/5 −1849/120 29/15 6 −801/80 349/6 −18353/120 2391/10 −1457/6 4891/30 −561/8 527/30 −469/240 4 1 1 −4 6 −4 1 2 3 −14 26 −24 11 −2 3 35/6 −31 137/2 −242/3 107/2 −19 17/6 4 28/3 −111/2 142 −1219/6 176 −185/2 82/3 −7/2 5 1069/80 −1316/15 15289/60 −2144/5 10993/24 −4772/15 2803/20 −536/15 967/240
Ad esempio, la derivata prima in avanti con accuratezza del terzo ordine è:
mentre la corrispondente derivata all'indietro è:
Bibliografia LLoyd N. Trefethen, Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Cornell University, 1996. Fornberg, Bengt (1988), "Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids", Mathematics of Computation 51 (184): 699–706
Voci correlate Differenza finita Metodo delle differenze finite
Collegamenti esterni
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