Le equazioni di MaxwellOriginariamente elaborate da James Clerk Maxwell nel 1864 come sistema di 20 equazioni scalari, furono riformulate entro il 1884 da Oliver Heaviside nella forma attuale, che utilizza il calcolo vettoriale. sono un sistema di quattro equazioni differenziali alle derivate parziali lineari che, insieme alla forza di Lorentz, descrivono le leggi fondamentali che governano l'interazione elettromagnetica.. Alla base dell'elettrodinamica classica, esprimono l'evoluzione temporale e i vincoli a cui è soggetto il campo elettromagnetico in relazione alle distribuzioni di carica e corrente elettrica da cui è generato.

Le equazioni raggruppano ed estendono le leggi dell'elettricità e del magnetismo note alla metà del XIX secolo, tra cui la legge di Gauss per il campo elettrico e la legge di Faraday. Tale sintesi fu compiuta da Maxwell che, aggiungendo la corrente di spostamento alla legge di Ampère, rese simmetriche le equazioni che descrivono il campo elettrico e il campo magnetico, rendendo visibile in questo modo come essi siano due manifestazioni della stessa entità, il campo elettromagnetico. In altri termini, le quattro equazioni mostrano come i campi elettrici dinamici, cioè variabili nel tempo, sono in grado di generare campi magnetici e viceversa, unificando così, a livello teorico e in maniera perfettamente simmetrica, l'elettricità con il magnetismo.

Maxwell osservò anche che le equazioni ammettono soluzioni ondulatorie, il che condusse alla scoperta delle onde elettromagnetiche e in particolare fu spiegata la natura della luce, fino ad allora oggetto di varie speculazioni teoriche. I campi elettromagnetici, introdotti inizialmente come entità matematica, acquistarono una loro propria realtà fisica potendo esistere indipendentemente dalle sorgenti che li hanno generati.

Come scoperto da Georgij Viktorovič Skrockij, le equazioni di campo elettromagnetico in uno spaziotempo curvo possono essere scritte in una forma non covariante formalmente equivalente alle equazioni di Maxwell in un mezzo macroscopico nello spaziotempo piatto.

Storia Le equazioni appaiono per la prima volta al completo e in forma differenziale nel testo A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, pubblicato da James Clerk Maxwell nel 1865, mentre la notazione moderna più comune fu sviluppata da Oliver Heaviside entro il 1884.

La formulazione delle equazioni di Maxwell ha definito in modo completo il legame tra campo elettrico e campo magnetico, unificando definitivamente elettricità e magnetismo e fornendo allo stesso tempo una sintesi teorica di tutti i fenomeni sperimentali connessi a tali ambiti. Già Faraday aveva osservato un'influenza magnetica sul campo elettrico: con l'ultima aggiunta di Maxwell alle equazioni, dove avviene l'introduzione della corrente di spostamento, i due campi vengono considerati a tutti gli effetti due manifestazioni diverse di un unico campo, il campo elettromagnetico..

La loro importanza non si esaurisce tuttavia sul piano storico nel loro carattere sintetico: esse hanno anche un carattere predittivo, che aprì alla previsione e alla successiva rilevazione sperimentale dell'esistenza delle onde elettromagnetiche, prima di allora sconosciute, la cui scoperta è avvenuta da parte di Hertz. In Italia gli studi sulle onde elettromagnetiche sono stati condotti fra gli altri da Righi e hanno portato un suo allievo, Marconi, all'invenzione della telegrafia senza fili.

La descrizione relativistica del campo ha successivamente richiesto l'introduzione del tensore elettromagnetico, del quadripotenziale e l'utilizzo della notazione quadrivettoriale. Di pari passo si sono sviluppate l'elettrodinamica quantistica e la teoria quantistica dei campi, che hanno conferito un significato fisico più profondo al concetto di quadripotenziale e di campo tensoriale..

Descrizioni concettuali

Legge di Gauss La legge di Gauss descrive la relazione tra un campo elettrostatico e le cariche elettriche che lo causano: il campo elettrostatico punta fuori dalle cariche positive e verso le cariche negative, il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi è proporzionale alla carica interna alla superficie. Raffigurando il campo elettrico con le sue linee di campo, significa che le linee iniziano sulle cariche positive e terminano sulle cariche negative. "Contare" il numero di linee di campo che attraversano una superficie chiusa dà la carica totale (compresa la carica dovuta alla polarizzazione elettrica) racchiusa da quella superficie, divisa per la permittività del vuoto.

Legge di Gauss per il magnetismo La legge di Gauss applicata al campo magnetico afferma che non ci sono "cariche magnetiche" (anche detti monopoli magnetici) analoghe alle cariche elettriche. Al loro posto, il campo magnetico dovuto ai materiali è generato da una configurazione detta dipolo magnetico, e il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa qualsiasi è nullo. Anche se i dipoli magnetici assomigliano a una coppia di cariche magnetiche positive e negative (come nel caso del dipolo elettrico), essi sono meglio rappresentati come spire percorse da corrente. In termini tecnici, la legge prevede che il flusso magnetico totale attraverso una superficie gaussiana è nullo, o, equivalentemente, che il campo di induzione magnetica è un campo vettoriale solenoidale. È errore molto comune pensare che la validità di questa legge implichi l'esistenza di sole linee di flusso magnetico chiuse su se stesse (eventualmente all'infinito). Tale configurazione, seppur sufficiente per rispettare la legge, non è strettamente necessaria. Esistono infatti numerosi esempi di situazioni in cui le linee di flusso dell'induzione magnetica non sono curve chiuse.

Legge di Faraday

La versione di Maxwell–Faraday della legge di Faraday descrive come un campo magnetico variabile nel tempo crea ("induce") un campo elettrico. In forma integrale, afferma che il lavoro per unità di carica necessario a spostare una carica intorno a una spira chiusa è pari al tasso di diminuzione del flusso magnetico attraverso la superficie racchiusa.

L'induzione elettromagnetica è il principio dietro a molti generatori elettrici: ad esempio, una calamita rotante crea un campo magnetico variabile, che a sua volta genera un campo elettrico in un filo vicino.

Legge di Ampère-Maxwell

La legge di Ampère con l'aggiunta di Maxwell afferma che i campi magnetici possono essere generati in due modi: tramite correnti elettriche (come dice la legge di Ampère originale) e da campi elettrici variabili (è questa l'aggiunta di Maxwell, chiamata da lui corrente di spostamento). Nella forma integrale, il campo magnetico indotto intorno a un circuito chiuso qualsiasi è proporzionale alla corrente elettrica concatenata al circuito più la corrente di spostamento (proporzionale al tasso di cambiamento del flusso del campo elettrico) attraverso la superficie chiusa.

L'aggiunta di Maxwell è particolarmente importante: rende il sistema di equazioni matematicamente coerente per campi non statici, senza cambiare le leggi di Ampère e di Gauss per i campi statici.. Tuttavia, come conseguenza, prevede che un campo magnetico variabile induca un campo elettrico e viceversa.Principles of physics: a calculus-based text, by R. A. Serway, J. W. Jewett, page 809. Pertanto, queste equazioni permettono a delle onde elettromagnetiche di viaggiare nello spazio vuoto.

La velocità calcolata per le onde elettromagnetiche, che poteva essere predetta dagli esperimenti su cariche e correnti,La quantità che ora chiameremmo , con unità di velocità, fu misurata direttamente prima delle equazioni di Maxwell, in un esperimento del 1855 effettuato da Wilhelm Eduard Weber e da Rudolf Kohlrausch. Caricarono una bottiglia di Leida (la forma pù antica di condensatore), e misurarono la forza elettrostatica associata al potenziale; poi la scaricarono, misurando la forza magnetica dalla corrente nel filo di scarica. Il risultato fu , notevolmente vicino alla velocità della luce. Si veda è esattamente pari alla velocità della luce; infatti, la luce è una forma di radiazione elettromagnetica (come i raggi X, le onde radio e altre onde). Maxwell comprese la connessione tra le onde elettromagnetiche e la luce nel 1861, unificando così le teorie dell'elettromagnetismo e dell'ottica.

Descrizione Le equazioni di Maxwell descrivono il modo in cui il campo elettrico e il campo magnetico interagiscono fra di loro e con oggetti che possiedono carica elettrica. Unite alla seconda legge del moto di Newton e alla forza di Lorentz:.

dove è una carica elettrica puntiforme in moto con velocità istantanea in presenza di un campo elettrico e di un campo magnetico , le equazioni di Maxwell caratterizzano completamente i fenomeni elettromagnetici classici, governando l'evoluzione dinamica dei campi e la sua genesi a partire da arbitrarie distribuzioni di carica.

Solitamente le equazioni vengono enunciate in forma locale, utilizzando la densità di carica e la densità di corrente per la descrizione delle sorgenti del campo. Tramite gli operatori differenziali divergenza e rotore la propagazione del campo viene mostrata in funzione dello spazio e del tempo .

Nel formalismo di Heaviside e Lorentz le equazioni di Maxwell sono scritte come un sistema di quattro equazioni, di cui due vettoriali e due scalari: esse pongono pertanto otto vincoli, e le incognite che in esse compaiono sono quattro funzioni vettoriali , , e , dove e sono rispettivamente il campo elettrico e magnetico quando si propagano nei materiali. Si tratta di dodici funzioni scalari della posizione e del tempo che rappresentano rispettivamente il campo elettrico nel vuoto, il campo elettrico nei materiali, il campo magnetico nel vuoto e il campo magnetico nei materiali.

Le seguenti due equazioni omogenee valgono sia nel vuoto sia nei mezzi materiali:

Esse rappresentano in forma differenziale, cioè valida localmente, la legge dell'induzione elettromagnetica di Faraday-Neumann-Lenz e la legge sul flusso del campo magnetico di Gauss (che descrive l'inesistenza di cariche magnetiche isolate, o monopoli magnetici).

Le seguenti due equazioni descrivono il modo in cui la materia interagisce con i campi elettrici e magnetici, polarizzandosi:

dove la densità di corrente , sorgente del campo, è data dalla densità di carica in movimento alla velocità di deriva . La seconda di esse è detta legge di Ampère-Maxwell e ingloba l'enunciato dell'equazione di continuità che impone la conservazione delle cariche di una corrente elettrica:

ottenibile applicando l'operatore divergenza alla legge di Ampère-Maxwell.

Le equazioni di Maxwell nei mezzi materiali non costituiscono un problema ben posto in senso stretto, in quanto il numero di equazioni è minore del numero di incognite, e inoltre non tutte le otto equazioni sono indipendenti, in virtù di proprietà generali dei campi vettoriali fisici.

Vi sono quindi due vincoli scalari che riducono a sei il numero delle equazioni indipendenti: si tratta pertanto di diminuire il numero delle incognite introducendo altre relazioni, dette equazioni costitutive dei mezzi materiali assieme al considerare la forza di Lorentz sulle cariche elettriche.

Le relazioni costitutive sono della forma:

perché devono esprimere come la materia reagisce, polarizzandosi, in relazione all'azione su di essa dei campi e . Se le funzioni e sono regolari allora possono pensarsi sviluppate in serie di Taylor nelle variabili e , e se questi ultimi sono sufficientemente deboli si può inoltre assumere che la materia risponda in maniera lineare, cioè direttamente proporzionale ai campi. In altri termini, si può pensare di arrestare al primo ordine differenziale lo sviluppo analitico e scrivere:

Le equazioni Nel sistema internazionale di unità di misura, l'espressione delle equazioni di Maxwell è la seguente:..