Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Enunciato

Siano due funzioni reali di variabile reale continue in e derivabili in .

Allora esiste almeno un punto tale che

.

Si noti che se (e dunque in particolare ), l'equazione si può scrivere nella forma equivalente

Dimostrazione del teorema Si consideri la funzione di variabile reale definita nell'intervallo come

Questa funzione è continua nell'intervallo e derivabile in , e

Da cui .

La funzione soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto in cui , cioè

Applicazioni Considerando in particolare la funzione , si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange. Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di de L'Hôpital.

Note

Bibliografia Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafo 67.

Voci correlate Derivata Teorema di Rolle Teorema di Lagrange

Collegamenti esterni

Extended mean-value theorem e proof of extended mean-value theorem su PlanetMath

Categoria:Funzioni reali di variabile reale Cauchy