Nel settore della matematica della teoria della rappresentazione dei gruppi, una rappresentazione simplettica è una rappresentazione di un gruppo o di un'algebra di Lie su uno spazio vettoriale simplettico (V, ω) che conserva la forma simplettica ω. Dove ω è una forma bilineare simplettica

dove F è il campo scalare. Una rappresentazione di un gruppo G conserva ω se:

per tutti i g in G e i v, w in V, mentre una rappresentazione di un'algebra di Lie g preserva ω se:

per tutti gli ξ in g e i v, w in V. Così una rappresentazione di G (o di g) è un omomorfismo fra G (o algebra di Lie g) e un gruppo simplettico Sp (V, ω) (o la sua algebra di Lie Sp (V, ω))

Fissata una base, si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari.

Spazio vettoriale simplettico In algebra lineare, si chiama spazio vettoriale simplettico uno spazio vettoriale reale di dimensione pari dotato di una funzione tale che, per ogni in e per ogni in

per ogni implica In altre parole, è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. munito della forma si dice anche munito di struttura simplettica.

Fissata una base, si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare.

Bibliografia Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See chapter 3. Dusa McDuff and D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.

Voci correlate Matrice simplettica Matrice ortogonale Matrice unitaria Meccanica hamiltoniana Gruppo simplettico Spazio vettoriale simplettico Trasformazione canonica Varietà simplettica

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