In matematica, in particolare nell'algebra astratta, un'algebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).
Anello graduato Un anello graduato è un anello tale che esista una famiglia di sottogruppi abeliani additivi di che decompongano in una somma diretta:
in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfi la seguente proprietà:
ossia
per tutti gli indici .
Gli elementi sono noti come elementi omogenei di grado . Dalla definizione segue immediatamente che ogni elemento ammette una decomposizione unica come somma:
dove per tutti gli ; gli elementi sono talvolta chiamati parti omogenee di .
Un sottoinsieme è omogeneo se per ogni elemento , le parti omogenee di sono anche contenute in
Se è un ideale omogeneo di allora è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:
Algebra graduata Un'algebra su un anello è un'algebra graduata se è graduata come anello. Nel caso in cui l'anello sia anche un anello graduato, allora si richiede che:
Si noti che la definizione di anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove è graduato in modo banale (ogni elemento di è di grado zero).
Esempi Fissato un campo , lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti nel campo è banalmente un anello graduato: la famiglia dei suoi elementi omogenei è data da , infatti dato che un elemento di è della forma , vale evidentemente che .
Bibliografia Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3. D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109. V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.
Voci correlate Algebra di Lie graduata Algebra astratta Algebra supersimmetrica Algebra supercommutativa Anello commutativo Ideale (matematica) Superalgebra Superalgebra di Poincaré
Collegamenti esterni , S. Martin, 1999. , Joseph D. Lykken, 1996. , Manuel Drees, 1996. , Adel Bilal, 2001. , Philip Arygres, 2001. , Howard Baer and Xerxes Tata, 2006. Brookhaven National Laboratory (8 gennaio 2004). Fermi National Accelerator Laboratory (25 settembre 2006). .
Categoria:Teoria delle algebre Categoria:Strutture algebriche Categoria:Supersimmetria