In fisica, in particolare nella teoria quantistica dei campi, si parla di soluzione on shell e off shell per indicare le configurazioni di un sistema fisico. Quando una configurazione è soluzione delle classiche equazioni del moto viene chiamata soluzione on shell, mentre se non le soddisfa è detta soluzione off shell.
Shell di massa Il termine "'soluzione on shell e off shell"' deriva da "shell di massa", sinonimo di iperboloide di massa, cioè è l'iperboloide nello spazio dell'energia-impulso che descrivono le soluzioni dell'equazione:
La quale descrive le combinazioni dell'energia E e della quantità di moto consentite dalla relatività speciale per una particella di massa m, dove c è la velocità della luce. L'equazione per lo shell di massa è spesso scritta in termini di quadrimpulso in notazione di Einstein e nelle unità naturali in cui , come:
o più semplicemente:
Teoria quantistica dei campi La teoria quantistica dei campi è la versione relativistica della meccanica quantistica, dove gli oggetti fondamentali sono i campi. Essa fornisce la struttura teorica su cui si basano per esempio la fisica delle particelle e la fisica della materia condensata. In particolare, la teoria quantistica del campo elettromagnetico, conosciuta come elettrodinamica quantistica, è una delle teorie di maggior successo della fisica.
La teoria quantistica dei campi fornisce alcune correzioni alla meccanica quantistica ordinaria, in cui l'evoluzione di un sistema è descritta dall'equazione di Schrödinger che nella sua forma più comune è:
dove è la costante di Planck ridotta, è la funzione d'onda di una particella, la sua massa, e un'energia potenziale applicata.
Ci sono due problemi associati a questa equazione: In primo luogo non è relativistica, il limite di corrispondenza è ridotto alla meccanica classica piuttosto che a quella relativistica. Ciò è visibile se si nota che il primo termine a sinistra rappresenta solamente l'energia cinetica classica , mentre l'energia a riposo viene omessa. È possibile modificare l'equazione di Schrödinger per includere l'energia a riposo, ottenendo, ad esempio, l'equazione di Klein-Gordon per particelle scalari (spin nullo) o l'equazione di Dirac per particelle di spin un mezzo; Il secondo problema si ha quando si cerca di estendere l'equazione a grandi numeri di particelle. Particelle identiche sono indistinguibili le une dalle altre (dato che non è possibile conoscerne in modo preciso posizione e velocità allo stesso momento), per cui la funzione d'onda dell'intero sistema deve essere simmetrica (bosoni) o antisimmetrica (fermioni) quando le coordinate delle particelle costituenti vengono scambiate. Questo rende la funzione d'onda di sistemi a molte particelle estremamente complicata. Ad esempio, la funzione d'onda generale di un sistema di bosoni si scrive come:
dove sono le coordinate della i-esima particella, sono le funzioni d'onda delle singole particelle, e la somma è presa su tutte le possibili permutazioni di elementi. In generale, questa è una somma di ( fattoriale) termini distinti, che diventa rapidamente ingestibile, al crescere di .
Campo scalare Prendendo per esempio un campo scalare in uno spazio di Minkowski D-dimensionale, si consideri una densità di Lagrangiana . L'azione è data da:
L'equazione di Eulero-Lagrange si ottiene considerando la variazione del campo e delle sue derivate, e ponendola uguale a zero. Essa ha la forma:
Supponendo che il sistema compie uno spostamento infinitesimo nello spazio-tempo, la densità di Lagrangiana (uno scalare) si trasforma come:
Espandendo inoltre in serie di Taylor:
dunque:
notando nel mentre che che poiché le variazioni sono linearmente indipendenti. Dal momento che si tratta di campi scalari, essi si trasformano esattamente come :
e dato che questo deve valere per traslazioni fra loro indipendenti:
si può "dividere" per e scrivere:
Questo è un esempio di equazione che vale off shell, poiché è valida per ogni configurazione dei campi indipendentemente dal fatto che essa rispetti le equazioni del moto, che in tal caso sono le equazioni di Eulero-Lagrange.
Si può derivare comunque una soluzione on shell semplicemente rimpiazzando nella precedente relazione con l'equazione di Eulero-Lagrange:
Ciò si può scrivere come:
e definendo la quantità tra parentesi come , si ha:
che è una formulazione del teorema di Noether. La quantità conservata è il tensore energia impulso, ed è conservata solo on shell, ovvero solo se vengono soddisfatte le equazioni del moto.
Bibliografia Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder (1995): An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley ISBN 0-201-50397-2 Steven Weinberg. La teoria quantistica dei campi. Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-08-17894-3 Steven Weinberg (1995): The Quantum Theory of Fields: Volume 1, Foundations, Cambridge University Press Steven Weinberg (1996): The Quantum Theory of Fields: Volume 2, Modern applications, Cambridge University Press Steven Weinberg (2000): The Quantum Theory of Fields: Volume 3, Supersymmetry, Cambridge University Press C. Itzykson e J. B. Zuber Quantum Field Theory MacGrawHill 1980/Dover 2006. N. Bogoliubov e D. Shirkov Introduction to the theory of quantized fields Wiley-Intersceince, 1959. L. D. Landau, E. Lifsits, V. Berestetskij e L. Pitaevskij Fisica teorica, vol. 4: Teoria quantistica relativistica (Editori Riuniti, 1978) G, Mussardo, Il Modello di Ising. Introduzione alla Teoria dei Campi e delle Transizioni di Fase (Bollati-Boringhieri, 2007) Robin Ticciati (1999): Quantum Field Theory for Mathematicians, Cambridge University Press F. Mandl e G. Shaw. Quantum Field Theory. John Wiley & Sons, 1993. F. Gross. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. Wiley-Interscience, 1993.
Voci correlate Funzione d'onda Operatore di evoluzione temporale Operatore hamiltoniano Operatore impulso Operatore posizione Teoria quantistica dei campi
Collegamenti esterni Appunti di Meccanica Quantistica Relativistica (Università di Roma 1, La Sapienza) Elettrodinamica Quantistica (Università di Roma 1, La Sapienza) Teorie di Gauge (Università di Roma 1, La Sapienza) G. Longhi Teoria Quantistica dei Campi con il formalismo di Wightman (Università di Firenze) F. J. Dyson 1951 Lectures on Advanced Quantum Mechanics Second Edition S. Coleman Corso di teoria dei campi, prima parte (Università Harvard) S. Coleman Corso di teoria dei campi, seconda parte W. Siegel Fields
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