In matematica, ed in particolare nella teoria degli ordini, un preordine è un tipo di relazione binaria strettamente correlato con le relazioni d'ordine (ed i corrispondenti insiemi parzialmente ordinati). Molte definizioni teoriche legate alle relazioni d'ordine possono essere generalizzate per i preordini.
Definizione formale
Sia P un insieme e ≤ una relazione binaria su P. ≤ è detta preordine se è riflessiva e transitiva, cioè se per ogni a, b, c in P, valgono le proprietà:
a ≤ a (riflessività) se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c (transitività)
Se un preordine è anche antisimmetrico (cioè se a ≤ b e b ≤ a implica a = b) allora è una relazione d'ordine o ordine parziale.
Un preordine è totale se per ogni a, b in P: a ≤ b oppure b ≤ a. La condizione di totalità è più frequentemente indicata col termine "completezza" nella letteratura economica.
A partire da ogni preordine è possibile costruire un ordine parziale identificando i punti "uguali". Formalmente, si definisce una relazione d'equivalenza ~ su X tale che a ~ b se e solo se a ≤ b e b ≤ a. Allora l'insieme quoziente X / ~, cioè l'insieme di tutte le classi d'equivalenza definite da ~, può facilmente essere ordinato definendo [x] ≤ [y] se e solo se x ≤ y. Si può verificare facilmente che questo porta ad un insieme parzialmente ordinato.
Esempi L'insieme delle parti di un insieme X munito della relazione A ≤ B se esiste una funzione iniettiva da A a B è un preordine totale.
In generale, ogni insieme su cui sia definita una funzione a valori in un insieme preordinato eredita da esso la struttura di preordine, mediante la definizione x ≤ y se f(x) ≤ f(y). Moltissimi esempi di preordini si possono costruire con questo metodo, dove tipicamente l'insieme di arrivo sono i numeri reali; anche l'esempio qua sopra ne è un caso particolare: la funzione "nascosta" è quella che a ogni insieme associa la sua cardinalità (l'enunciato dato in termini di funzioni iniettive è equivalente).
I preordini totali sono ampiamente utilizzati nella teoria economica per rappresentare le preferenze di un agente, in particolare nella teoria del consumatore.
Voci correlate Teoria degli ordini Relazione d'ordine parziale Relazione d'ordine totale
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria degli ordini