Uno spazio topologico è uno spazio discreto (e dunque ha la topologia discreta) quando tutti i sottoinsiemi di sono aperti. Le seguenti sono altre definizioni equivalenti: tutti i sottoinsiemi di sono chiusi; tutti i punti di sono aperti.
La topologia discreta è la più fine fra le topologie di un insieme. All'estremo opposto troviamo la topologia banale che è la meno fine. La topologia discreta può essere considerata come la "topologia naturale" di un insieme, in cui i punti sono tutti "staccati" l'uno dall'altro.
Proprietà
Assegnando ad ogni coppia di punti di un insieme la seguente distanza:
otteniamo così uno spazio metrico con topologia discreta (questa metrica si chiama metrica discreta). Quindi la topologia discreta è metrizzabile, ovvero indotta da una metrica. La topologia discreta soddisfa tutti gli assiomi di separazione. Ogni funzione definita su uno spazio discreto (a valori in un qualsiasi spazio topologico) è continua. Uno spazio discreto è totalmente sconnesso. Notiamo che esistono spazi totalmente sconnessi con topologia non discreta, ad esempio i numeri razionali o l'insieme di Cantor. Uno spazio discreto è compatto se e solo se è finito. Uno spazio discreto è omogeneo: i punti sono indistinguibili. Gli spazi discreti a meno di omeomorfismo sono classificati dalla loro cardinalità. Ad esempio, ogni spazio discreto numerabile è omeomorfo all'insieme dei numeri interi.
Bibliografia
Voci correlate
Topologia banale Cardinalità
Collegamenti esterni
Categoria:Topologia generale