Carriera Club Børven ha esordito nell'Eliteserien nel corso del campionato 2009: è subentrato a Jacob Sørensen nella sconfitta per 4-2 sul campo del Brann, segnando la rete del momentaneo 3-1 e fornendo l'assist per quella di Fredrik Gulsvik. Ha giocato un altro spezzone di partita nello stesso campionato, contro il Fredrikstad.

Nel campionato seguente, ha giocato la prima da titolare il 12 settembre 2010 e nell'occasione ha segnato una rete nel 2-1 inflitto all'Aalesund. Il 26 settembre ha realizzato una tripletta contro il Sandefjord, la prima della sua carriera.

Il 19 agosto 2012 è stato ufficializzato il suo passaggio al Vålerenga, per cui ha firmato un contratto valido per i successivi quattro anni e mezzo. Ha debuttato in squadra il 26 agosto, schierato titolare nella sconfitta per 2-0 in casa del Molde. Il 31 agosto ha segnato la prima rete, nel 4-0 inflitto al Sandnes Ulf. Rimasto in squadra per un anno e mezzo, ha totalizzato 43 presenze e 18 reti tra tutte le competizioni.

Il 20 dicembre 2013 è stato ufficialmente ingaggiato dagli olandesi del Twente, a cui si è legato con un contratto valido per i successivi quattro anni e mezzo, a partire dal 1º gennaio 2014. Ha esordito nell'Eredivisie il 2 febbraio, sostituendo Luc Castaignos nella vittoria per 3-1 sul Cambuur. Il 5 febbraio ha realizzato la prima rete, nella vittoria per 0-2 sul campo dell'Heerenveen. Il 12 aprile ha siglato una doppietta ai danni del Roda JC, contribuendo al successo per 3-0 della sua squadra.

Il 16 agosto 2016, Børven ha fatto ufficialmente ritorno in Norvegia per giocare nel Brann, in prestito fino al termine della stagione. Il giocatore ha scelto la maglia numero 22. Ha esordito con questa maglia in data 27 agosto, schierato titolare nella sconfitta per 3-2 maturata sul campo dell'Haugesund. Ha totalizzato 4 presenze nel corso di quella stagione, senza mai trovare la rete. Tornato al Twente per fine prestito, in data 31 gennaio 2017 ha rescisso l'accordo che lo legava al club. Il 2 febbraio ha fatto quindi ritorno al Brann, a cui si è legato con un contratto triennale.

Il 17 aprile 2017 ha trovato la prima rete con questa maglia, nel 3-1 inflitto all'Haugesund. Rimasto al Brann sino al termine della stagione, si è congedato con 31 presenze e 4 reti, tra tutte le competizioni.

Il 19 febbraio 2018, l'Odd ha reso noto d'aver tesserato Børven, che ha firmato un contratto valido per i successivi due anni e mezzo ed ha scelto di vestire la maglia numero 22. Con 21 reti è diventato il capocannoniere dell’Eliteserien 2019.

Il 17 giugno 2020, il Rosenborg ha annunciato d'aver raggiunto un accordo con l'Odd per il trasferimento di Børven, che sarebbe stato valido a partire dal 1º agosto successivo: il giocatore ha firmato un contratto valido fino al 31 dicembre 2022. Il 30 giugno, le parti hanno concordato un anticipo del trasferimento a partire da quella stessa data, col calciatore che ha scelto di vestire la maglia numero 14.

Il 30 settembre 2020 è passato a titolo definitivo ai turchi dell'Ankaragücü, a cui si è legato con un contratto biennale, con opzione per una terza stagione.

Il 12 agosto 2022 ha fatto ritorno in Norvegia, al Vålerenga: ha firmato un contratto valido fino al 31 dicembre 2024 e ha scelto di vestire la maglia numero 9.

L'8 febbraio 2024 è passato all'Odd, con un contratto biennale.

Il 23 gennaio 2026 è stato ufficializzato il suo trasferimento ai faroesi del .

Nazionale Børven ha esordito da titolare con la il 17 novembre 2010, in un'amichevole contro la Grecia: l'attaccante ha giocato circa 75 minuti ed è stato poi sostituito da Mads Stokkelien, con gli ellenici che si sono imposti per 1-0. Il 6 ottobre 2011 è arrivata la sua prima rete con questa maglia, con cui ha contribuito così al successo per 0-2 sul campo dell'Azerbaigian. Il 7 maggio 2013 è stato incluso nella lista provvisoria consegnata all'UEFA dal commissario tecnico Tor Ole Skullerud in vista del campionato europeo Under-21 2013. Il 22 maggio, il suo nome è stato però escluso dalla rosa dei 23 calciatori scelti per la manifestazione.

Statistiche Presenze e reti nei club Statistiche aggiornate al 23 gennaio 2026. StagioneClubCampionatoCoppe nazionaliCoppe continentaliSupercoppeTotaleCompPresRetiCompPresRetiCompPresRetiCompPresRetiPresReti 2009 Odd Grenland ES 2 1 CN 0 0 - - - - - - 2 1 2010 ES 21 8 CN 4 2 - - - - - - 25 10 2011 ES 19 7 CN 0 0 - - - - - - 19 7 gen.-ago. 2012 ES 19 8 CN 3 0 - - - - - - 22 8 ago.-dic. 2012 Vålerenga ES 10 2 CN - - - - - - - - 10 2 2013 ES 29 9 CN 4 7 - - - - - - 33 16 gen.-giu. 2014 Twente ED 12 3 CO - - - - - - - - 12 3 2014-2015 ED 22 1 CO 1 0 UEL 2Presenze nei turni preliminari. 0 - - - 25 1 2015-2016 ED 4 0 CO 0 0 - - - - - - 4 0 ago. 2016 ED 1 0 CO 0 0 - - - - - - 1 0 Totale Twente 39 4 1 0 2 0 - - 42 4 gen.-giu. 2014 Jong Twente 1D 1 0 - - - - - - - - - 1 0 2014-2015 1D 3 0 - - - - - - - - - 3 0 ago. 2016 1D 1 0 - - - - - - - - - 1 0 Totale Jong Twente 5 0 - - - - - - 5 0 ago.-dic. 2016 Brann ES 4 0 CN - - - - - - - - 4 0 2017 ES 23 3 CN 3 1 UEL 0 0 SN 1 0 27 4 Totale Brann 27 3 3 1 0 0 1 0 31 4 2018 Odd ES 21 5 CN 1 0 - - - - - - 22 5 2019 ES 29 21 CN 2 0 - - - - - - 31 21 gen.-giu. 2020 ES 4 6 - - - - - - - - - 4 6 giu.-set. 2020 Rosenborg ES 14 4 - - - UEL 2 2 - - - 16 6 set. 2020-2021 Ankaragücü SL 29 10 CT 1 0 - - - - - - 30 10 2021-2022 Gaziantep SL 14 0 CT 2 0 - - - - - - 16 0 ago. 2022 SL 1 0 CT 0 0 - - - - - - 1 0 Totale Gaziantep 15 0 2 0 - - - - 17 0 ago.-dic. 2022 Vålerenga ES 13 5 CN - - - - - - - - 13 5 2023 ES 24+2 1+0 CN 6 2 - - - - - - 32 3 Totale Vålerenga 76+2 17+0 10 9 - - - - 80+2 24+0 2024 Odd ES 13 2 CN 0 0 - - - - - - 13 2 2025 1D 20 6 CN+CN 0 0 - - - - - - 20 6 Totale Odd 146 64 10 2 - - - - 156 66 2026 FD 0 0 CN 0 0 - - - - - - 0 0 Totale 346+2 101+0 27 12 4 2 1 0 377 115

Palmarès Individuale Capocannoniere dell’Eliteserien: 1 2019 (21 reti)

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