In fisica il concetto di simmetria identifica la proprietà dei fenomeni fisici di ripetersi sostanzialmente identici nel tempo e nello spazio.

Fino alla fine dell'Ottocento, pur essendo chiaro che in fisica dovevano venire rispettate certe invarianze, non se ne parlava esplicitamente in quanto ciò appariva banale. Con l'introduzione della teoria della relatività ristretta, le invarianze hanno assunto grande importanza, in quanto caratteristiche essenziali dei fenomeni fisici. È infatti fondamentale che le leggi fisiche che li descrivono non dipendano dalla loro posizione spazio-temporale rispetto all'osservatore, ma che siano invarianti rispetto ad esso. Se così non fosse, ogni osservatore vedrebbe i fenomeni in maniera inconciliabile con altri osservatori e le sue stesse osservazioni varierebbero da istante a istante e da luogo a luogo.

In altri termini, le leggi che descrivono le regolarità della natura devono essere invarianti per spostamenti nel tempo e nello spazio. Per questo ci si appoggia all'idea di simmetria, un concetto di facile visualizzazione nel campo della geometria, ma che si può applicare anche ad enti non geometrici, come appunto le leggi empiriche. Nel linguaggio comune non vi è una relazione molto stretta fra i concetti di invarianza e di simmetria, mentre in fisica invarianza e simmetria sono sinonimi. Vi sono diversi tipi di simmetria e tutti si possono descrivere mediante la teoria dei gruppi.

Uguaglianza relativa In prima approssimazione, una figura geometrica si dice simmetrica se rimane uguale a sé stessa in seguito a qualche trasformazione. Per esempio, un quadrato rimane invariato in seguito a rotazioni di 90° intorno a un asse che passa per il suo centro ortogonalmente al piano su cui è definito. Questo significa che per rotazioni qualsiasi ogni punto del quadrato è mappato in un punto diverso ma che per certe rotazioni l'intero quadrato è mappato su sé stesso.

Il concetto di uguaglianza è centrale in simmetria ma, per estendere l'idea di simmetria oltre l'ambito della geometria, occorre introdurre l'idea di uguaglianza relativa: due oggetti sono detti uguali rispetto a qualche caratteristica se entrambi possiedono tale caratteristica. Non fa differenza se si tratta di due oggetti distinti o del medesimo oggetto che ha subito qualche trasformazione. L'oggetto può essere una figura geometrica, un oggetto fisico, un concetto astratto qualsiasi: in generale un sistema. Quello di sistema è il concetto più generale che si possa adottare. Può essere una figura geometrica (mono, bi o tri-dimensionale), un oggetto (una molecola, un cristallo, un essere vivente o una sua parte), un processo dinamico, ovvero variabile nel tempo (il moto di un oggetto, l'accrescimento di un organismo, una reazione chimica, lo sviluppo del calcolo in un computer), o addirittura un concetto astratto (oggetti matematici come funzioni o matrici, leggi empiriche, ecc.).

Se , ad esempio, è una trasformazione che porta un sistema da uno stato iniziale a una sua immagine, tale trasformazione può venire combinata con un'altra in un modo che ricorda la somma fra numeri: due trasformazioni successive equivalgono a un'unica rotazione di 180°. Questo rimane vero per due trasformazioni qualsiasi.

Si definisce anche una trasformazione inversa, che riporta il sistema nello stato iniziale. Il numero di tali trasformazioni è un indice del grado di simmetria del sistema. Per esempio, un quadrato è più simmetrico di un triangolo equilatero perché ha quattro possibili rotazioni intorno al centro che portano alla sovrapposizione (0°, 90°, 180° e 270°), invece di tre solamente (0°, 120°, 240°) ed è meno simmetrico di un esagono, che ha sei rotazioni possibili (60° e multipli di questa).

Le simmetrie geometriche più note sono associate a rotazioni intorno a un asse, come nel caso del quadrato, che ruota sul piano, intorno a un asse verticale passante per il centro. Con maggiore precisione va detto che nel caso di rotazioni superiori a , tutti i punti dell'oggetto tornano a occupare la medesima posizione occupata dopo una delle rotazioni in figura, il che rende assolutamente indistinguibile l'oggetto prima e dopo ulteriori rotazioni di , in verso orario o antiorario.

Le simmetrie geometriche si riferiscono alla posizione della figura di cui si tratta. Più in generale si parla di stato di un sistema. Per esempio, il prodotto , fra pressione e volume di un gas ideale è invariante rispetto a variazioni di a temperatura costante.

Un cerchio, poi, è la figura piana più simmetrica, poiché è simmetrico per infinite rotazioni intorno all'asse che passa per il suo centro. Si tratta di una delle molte situazioni limite che, vedremo, hanno un interesse particolare.

Gruppi

È possibile effettuare una trattazione formale delle simmetrie facendo ricorso alla teoria dei gruppi. Un gruppo è un insieme di elementi (o trasformazioni) più un'operazione di composizione fra due di loro, e , che denotiamo tale che: il risultato dell'operazione sia anch'essa un elemento dell'insieme ( è chiuso) l'operazione sia associativa vi sia un elemento speciale di , detto identità , tale che per ogni elemento dell'insieme sia per ogni elemento vi sia un elemento , appartenente all'insieme, che si dice inverso di , tale che

Se poi vale anche la proprietà commutativa , il gruppo si dice commutativo, o abeliano, altrimenti è non commutativo.

Il numero degli elementi che appartengono a è detto ordine del gruppo.

L'insieme dei numeri interi relativi con l'operazione di somma è un gruppo commutativo infinito se l'identità è lo zero e l'inverso è l'opposto di . Se invece consideriamo l'insieme dei numeri interi relativi con l'operazione di moltiplicazione, , dove l'inverso assume il significato usuale , quindi non è un intero e per lo zero non è neppure definito, non siamo in presenza di un gruppo. È un altro tipo di struttura algebrica, denominata monoide, che presenta solo la proprietà associativa e l'esistenza dell'elemento neutro, detto anche semigruppo con neutro.

Nel caso di un quadrato, per ogni rotazione esiste una rotazione inversa e vi è una proprietà commutativa. È poi facile dimostrare che è valida la proprietà associativa. L'elemento non coincide con alcuna trasformazione o, che è lo stesso, coincide con una rotazione di 360°. L'operazione di associazione è l'esecuzione in successione di due trasformazioni.

Le rotazioni orarie di un quadrato e l'associazione di due qualsiasi di esse costituiscono quindi un gruppo di ordine 4. Le rotazioni intorno all'asse che passa per il centro non sono le sole trasformazioni di simmetria possibili con un quadrato. Vi sono anche riflessioni speculari lungo gli assi e le diagonali, che costituiscono un altro gruppo.

L'insieme di tutte le trasformazioni di simmetria di un dato sistema costituisce il suo gruppo di simmetria, includendo come elemento identità la trasformazione nulla, ovvero "non fare alcuna operazione", nella quale ogni elemento del sistema è mappato su sé stesso. Il gruppo di simmetria del quadrato risulta quindi dall'unione dei sottogruppi delle rotazioni e delle riflessioni, che già comprendono l'identità.

Gruppi astratti di simmetria

Vi può essere un solo gruppo astratto di ordine ed è costituito dal solo elemento identità. Si realizza, per esempio, nel gruppo costituito dallo zero e dalla somma come operazione di composizione. Lo zero, come si è visto, è infatti l'identità del gruppo dei numeri interi e somma. Vi è pure un solo gruppo astratto di ordine , costituito dall'identità e da un elemento , quindi si pone la necessità di includere pure l'inverso di : questo deve coincidere col suo inverso e quindi . Una realizzazione numerica di tale gruppo è costituita dai numeri (identità) e sotto l'operazione di moltiplicazione.

Altre realizzazioni del medesimo gruppo sono, in geometria: il gruppo costituito dall'identità (nessuna trasformazione) e dalla riflessione, con operazione di composizione costituita da due riflessioni consecutive; la rotazione di un oggetto di 0° (identità) e di 180° intorno a un asse, con composizione costituita da due rotazioni successive di 180°. Questi gruppi si realizzano facilmente usando rispettivamente due specchietti e un quaderno a spirale. Entrambi si realizzano poi nella simmetria bilaterale, tipica degli animali.

I gruppi di simmetria che realizzano il medesimo gruppo astratto si dicono isomorfi, in quanto le loro tabelle di moltiplicazione hanno la medesima struttura. Si tratta di una proprietà molto importante, con risvolti interessanti in fisica, in quanto sistemi isomorfi presentano interessanti identità di comportamento che si riflettono nelle descrizioni dei fenomeni associati ai sistemi stessi.

Anche per un gruppo di ordine 3 vi è un solo gruppo astratto. Siccome il gruppo deve contenere l'inverso delle trasformazioni e qui vi sono solo due elementi, deve essere l'inverso di e, naturalmente, viceversa.

Fra le realizzazioni di questo gruppo consideriamo un triangolo equilatero e le sue rotazioni intorno a un asse che passa per il centro del triangolo. L'identità è nessuna rotazione, è una rotazione di 120° e una rotazione di 240°, entrambe in senso orario.

Simmetria in una dimensione Simmetria di traslazione

Ogni sequenza rettilinea periodica gode di simmetria per traslazione, purché sia infinita, altrimenti, dopo una traslazione più o meno ampia, la sequenza finisce e la simmetria si rompe. In questo caso si ha una simmetria approssimata, valida entro un ambito più o meno ampio.

In particolare, gode di simmetria di traslazione una retta. Questa è un caso limite di traslazione, perché continua. Il simbolo è . La traslazione può avvenire nello spazio e anche nel tempo, basta pensare che questo può venire rappresentato dalla scansione dei giorni, delle ore, dei secondi, ... lungo una retta (che però dovrebbe essere infinita).

Nel corso della traslazione i punti della retta lungo la quale scivola la struttura che si sposta rimangono al loro posto: tale retta si dice asse di traslazione. La ragione di tale definizione si chiarisce meglio se la struttura che trasla è una banda, naturalmente infinita. L'asse di traslazione, in quanto rimane invariato nel corso della traslazione, si dice un elemento singolare della simmetria. Dato che tutte le rette parallele hanno la medesima direzione, l'asse di traslazione si indica con una qualsiasi retta parallela alla retta o all'asse della banda che traslano.

In biologia esempi di simmetria approssimata per spostamento nel tempo sono i vari ritmi circadiani, che si osservano nella biochimica e nel comportamento di tutti gli animali e vegetali. In chimica lo sono le svariate reazioni oscillanti. In fisica lo sono tutti i moti periodici, in particolare i moti dei pianeti nel sistema solare. La cosmologia moderna prevede che il tempo abbia avuto un inizio, in corrispondenza del big bang, ovvero della prima formazione dell'universo. Quindi la simmetria per traslazione del tempo è accettabilissima oggi, anche per fenomeni di durata molto lunga, ma va vista con molta cautela in astrofisica.

. Infatti si vede immediatamente che sono soddisfatte le condizioni: il risultato di due traslazioni successive è anch'esso una traslazione le traslazioni si possono associare a piacere: per tre traslazioni successive e si ha l'identità equivale a nessuna traslazione (spostamento nullo) per ogni traslazione in un verso dell'asse di traslazione ne esiste una contraria nel verso opposto, , che riporta il sistema nello stato di partenza.