Il numero 6174 è conosciuto come la costante di Kaprekar in onore del matematico indiano Dattatreya Ramachandra Kaprekar che la scoprì. Tale numero possiede la seguente proprietà:

Prendere qualsiasi numero di quattro cifre, usandone almeno due differenti (si possono inserire degli zeri anche all'inizio). Posizionare le cifre in ordine decrescente e poi in ordine crescente così da ottenere due numeri di quattro cifre, aggiungendo degli zeri iniziali se necessario. Sottrarre il numero minore dal maggiore. Ripetere il processo partendo dal punto 2. In questo modo il processo sopra descritto, conosciuto come l'operazione di Kaprekar, andrà sempre incontro al suo punto fisso, il 6174, in al massimo 7 iterazioni. Una volta raggiunto il 6174, il processo continuerà a dare 7641 – 1467 = 6174.

Per esempio, consideriamo il numero 3524:

5432 – 2345 = 3087 8730 – 0378 = 8352 8532 – 2358 = 6174

Gli unici numeri a quattro cifre che attraverso l'operazione di Kaprekar non raggiungono il 6174 sono i numeri a cifra ripetuta come 1111, che daranno come risultato 0 dopo una singola iterazione. Tutti gli altri numeri a quattro cifre raggiungeranno sempre il 6174 se si aggiungono opportunamente degli zero per mantenere il numero di cifre a 4:

2111 – 1112 = 0999 9990 – 0999 = 8991 (invece che 999 – 999 = 0) 9981 – 1899 = 8082 8820 – 0288 = 8532 8532 – 2358 = 6174

9831 raggiunge 6174 dopo 7 iterazioni:

9831 – 1389 = 8442 8442 – 2448 = 5994 9954 – 4599 = 5355 5553 – 3555 = 1998 9981 – 1899 = 8082 8820 – 0288 = 8532 (invece che 882 – 288 = 594) 8532 – 2358 = 6174

8774, 8477, 8747, 7748, 7487, 7847, 7784, 4877, 4787, e 4778 si stabilizzano al 6174 dopo 4 iterazioni:

8774 – 4778 = 3996 9963 – 3699 = 6264 6642 – 2466 = 4176 7641 – 1467 = 6174

Da notare che in ogni iterazione dell'operazione di Kaprekar, i due numeri che vengono coinvolti nella sottrazione possiedono la stessa somma di cifre, cioè 9. Di conseguenza il risultato di ogni iterazione dell'operazione di Kaprekar è sempre un multiplo di 9.

Il numero 495 è la costante equivalente per i numeri a tre cifre. Per i numeri a cinque o più cifre non esistono costanti equivalenti; per ogni lunghezza di cifre l'operazione può terminare con uno dei tanti punti fissi oppure può entrare in loop.

Il procedimento per numeri a due cifre termina in un loop. Tra le possibili coppie di due cifre si hanno 5 coppie notevoli {4, 5; 0, 9; 1, 8; 3, 6; 2, 7} che costituiscono i termini del loop e compongono 10 multipli di 9. Qualsiasi coppia diversa dalle 5 coppie notevoli genera alla prima iterazione una delle 5 coppie notevoli e quindi l'ingresso nel loop.

Note

Voci correlate Congettura di Collatz

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Categoria:Costanti matematiche