In matematica, l'equazione di Legendre, il cui nome si deve a Adrien-Marie Legendre, è l'equazione differenziale lineare del secondo ordine
Si tratta di un problema di Sturm-Liouville con , e coefficiente uguale a 1. Si può scrivere anche nella forma:
L'equazione Nella forma più generale:
oppure:
Le loro soluzioni generali, chiamate armoniche sferiche, sono esprimibili come combinazione lineare:
dove e sono soluzioni parziali linearmente indipendenti, chiamate funzioni sferiche.
L'equazione di Legendre è legata all'equazione di Laplace in coordinate sferiche:
con la condizione al contorno:
dove è un intero positivo. Si tratta di un classico problema fisico a simmetria sferica, trattato nelle coordinate polari , ed è facilmente risolubile tramite il metodo della separazione delle variabili. Cioè, supponendo che la soluzione sia una funzione data dal prodotto di due funzioni indipendenti:
da cui, sostituendo e moltiplicando per si ottiene:
dalla quale si vede che deve essere:
Ricordando poi la condizione di periodicità, la costante di separazione dovrà essere pari a con m numero intero. Si ha dunque come soluzione della parte in :
mentre si vede che la parte in deve soddisfare la relazione:
.
Per risolvere quest'ultima converrà fare un cambiamento di variabile e sostituire e si ritrova:
Nella forma:
è a sua volta un caso particolare del problema di Sturm-Liouville.
Bibliografia Milton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitolo 8 e capitolo 22) Eduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen (in tedesco, Georg Reimer; Berlino, 1861)
Norman MacLeod Ferrers An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them (MacMillan, London, 1877) William Ellwood Byerly An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics. (Ginn & co., Boston, 1893) Francis A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 2) (Longman Greens & co., 1913) (capitolo 1) Edmund T. Whittaker and George N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1915) (capitolo 15)
Voci correlate Armoniche sferiche Equazioni di Bessel Tavola delle armoniche sferiche
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Legendre