In matematica, un operatore di Hilbert-Schmidt, il cui nome è dovuto a David Hilbert e Erhard Schmidt, è un operatore limitato su uno spazio di Hilbert per il quale una data norma, detta norma di Hilbert–Schmidt, è finita.

Definizione Sia uno spazio di Hilbert complesso, con antilineare nella prima variabile e lineare nella seconda. Un operatore limitato è un operatore di Hilbert-Schmidt se è finita la traccia del modulo quadro,. ovvero se

In modo equivalente, poiché , si può definire la norma di Hilbert–Schmidt come la radice quadrata di

e dire che è un operatore di Hilbert-Schmidt se tale norma è finita. L'insieme è una qualunque base ortonormale di , mentre è la norma di . Inoltre, si verifica che

dove

La norma di Hilbert-Schmidt è un caso particolare della norma di Schatten p-esima

In uno spazio euclideo di dimensione finita è anche detta norma di Frobenius.

Il prodotto interno tra due operatori di Hilbert–Schmidt e è definito nel seguente modo

Tale forma hermitiana induce la norma di Hilbert-Schmidt sopra descritta, e rende la classe degli operatori di Hilbert-Schmidt uno spazio di Hilbert.

Proprietà Gli operatori di Hilbert-Schmidt formano uno *-ideale nell'algebra di Banach degli operatori limitati su . Essi costituiscono inoltre uno spazio di Hilbert che si dimostra essere isomorfo e isometrico al prodotto tensoriale , dove denota lo spazio duale di .

Gli operatori di classe traccia sono operatori di Hilbert-Schmidt.

Un operatore di Hilbert-Schmidt è un operatore compatto. Viceversa, un operatore compatto è di classe traccia se e solo se

dove i numeri sono i valori singolari dell'operatore. Gli operatori di rango finito sono densi nello spazio degli operatori di classe traccia rispetto alla norma .

Due operatori e sono di Hilbert–Schmidt se e solo se è di classe traccia.

Un operatore è di Hilbert-Schmidt se e solo se per una qualche base ortonormale di . Sia uno spazio di misura e sia lo spazio delle funzioni quadrato sommabili su . Una condizione sufficiente affinché un operatore limitato definito su sia di Hilbert-Schmidt è che esista una funzione

tale che

e si ha inoltre

Note

Bibliografia

Voci correlate Operatore (matematica) Traccia (matrice) Operatore limitato

Collegamenti esterni

Categoria:Operatori lineari