In algebra, un dominio a fattorizzazione unica (o anello a fattorizzazione unica; spesso abbreviato in UFD, dall'inglese Unique Factorization Domain) è un dominio in cui vale un analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica, ossia in cui ogni elemento può essere scritto in modo unico come prodotto di elementi primi, a meno dello zero e delle unità, analogamente a quanto accade per i numeri interi e la scomposizione in numeri primi.
Definizione Un dominio d'integrità è un dominio a fattorizzazione unica se ogni elemento di non nullo e non invertibile può essere scritto come prodotto di elementi irriducibili
e questa rappresentazione è unica, nell'accezione seguente: se sono elementi irriducibili di tali che
allora ed esiste una corrispondenza biunivoca tale che e sono associati, per ogni ossia, a meno di riordinare i fattori, , dove è un elemento invertibile dell'anello.
Alternativamente, è un dominio a fattorizzazione unica se ogni elemento non invertibile è prodotto di elementi primi: in questo caso, l'unicità è già garantita dalle proprietà degli elementi primi. Un'ulteriore caratterizzazione equivalente che usa gli elementi primi è stata dimostrata da Irving Kaplansky: un dominio è un UFD se e solo se ogni ideale primo contiene un elemento primo.
Esempi Un primo esempio è dato dai campi, come il campo dei numeri razionali o reali : in questo caso, tutti gli elementi non nulli sono invertibili, e quindi tutte le fattorizzazioni sono banali. Un esempio più interessante è l'anello dei numeri interi (grazie al teorema fondamentale dell'aritmetica).
Esempi importanti sono gli anelli dei polinomi a coefficienti in un campo e l'anello delle serie formali.
Più in generale, ogni dominio ad ideali principali e ogni dominio euclideo è a fattorizzazione unica.
Tra gli anelli di interi algebrici, l'anello degli interi gaussiani è a fattorizzazione unica, mentre (che comprende tutti i numeri complessi del tipo , dove e sono interi) non lo è, perché 6 si fattorizza in due modi diversi, come e , e questi quattro fattori sono irriducibili e non equivalenti.
Proprietà In un dominio a fattorizzazione unica, le nozioni di elemento primo ed elemento irriducibile coincidono; più precisamente, un dominio è un UFD se e solo se è atomico (ossia se ogni elemento può essere scritto come prodotto di elementi irriducibili) e se gli elementi primi ed irriducibili coincidono.
Ogni coppia (o insieme finito) di elementi in ha un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo, definiti analogamente a quanto accade negli interi; questi possono essere ricavati dalla fattorizzazione. Dall'esistenza dei massimi comun divisori segue che ogni UFD è integralmente chiuso; questo criterio può essere a volte usato per dimostrare che certi anelli non sono a fattorizzazione unica.
La proprietà di essere a fattorizzazione unica si conserva passando agli anelli di polinomi, ossia è un UFD se e solo se è un UFD. Per induzione, anche gli anelli sono a fattorizzazione unica: ad esempio questo avviene per l'anello dei polinomi a coefficienti in un campo . Per quest'ultimo caso è un esempio di UFD che non è a ideali principali; più in generale, un UFD è ad ideali principali se e solo se la sua dimensione di Krull è 0 o 1.
Al contrario degli anelli di polinomi, non è detto che, se è a fattorizzazione unica, lo sia anche l'anello delle serie formali un caso particolare (ma importante) in cui questa proprietà è invece vera si ha quando è un campo. Più in generale, se è un anello regolare a fattorizzazione unica, anche è un UFD regolare.
Bibliografia Luca Barbieri Viale, Che cos'è un numero ? Una introduzione all'algebra, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3
Voci correlate Anello commutativo Dominio d'integrità Dominio ad ideali principali Dominio euclideo Fattorizzazione (teoria degli anelli) Ideale (matematica)
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Categoria:Teoria degli anelli