Carriera Appassionato di sport si avvicina prima all'hockey, poi al ciclismo e infine sceglie la ginnastica coronando subito la sua carriera con una medaglia d'oro nella sua scuola a Čeljabinsk.
È campione russo di ginnastica dal 2008 al 2010. Viene convocato in nazionale per prendere parte nel 2011 ai campionati europei di Berlino, dove si classifica sesto al corpo libero, e ai campionati mondiali di Tokyo, dove si classifica quarto con la squadra e quinto al volteggio.
Nel 2012 ha fatto parte della squadra vincitrice della medaglia d'argento ai campionati europei di Montpellier. Nello stesso evento Abljazin vincerà la medaglia di bronzo agli anelli e al volteggio, oltre a piazzarsi al sesto posto per il corpo libero.
Ai giochi olimpici di Londra, in squadra con Aleksandr Balandin, David Beljavskij, Ėmin Garibov e Igor Pachomenko si classifica al sesto posto. Per i concorsi individuali invece si qualifica per gli anelli, arrivando quinto, e vincerà le medaglie d'argento, al volteggio, e di bronzo, al corpo libero.
Nell'agosto 2016 conquista insieme a David Beljavskij, Ivan Stretovič, Nikolaj Kuksenkov e Nikita Nagornyj la medaglia d'argento nel concorso a squadre nei Giochi Olimpici di Rio, terminando alle spalle del Giappone e davanti alla Cina. Nelle finali individuali Abljazin conquista inoltre la medaglia d'argento al volteggio, ripetendo così il risultato ottenuto a Londra, e la medaglia di bronzo agli anelli.
Palmarès Giochi olimpici 7 medaglie 1 oro (Concorso a squadre a Tokyo 2020) 4 argenti (Volteggio a Londra 2012, concorso a squadre e volteggio a Rio 2016, volteggio a Tokyo 2020) 2 bronzi (Corpo libero a Londra 2012, Anelli a Rio 2016)
Campionati mondiali 4 medaglie 2 ori (Corpo libero a Nanning 2014, Concorso a squadre a Stoccarda 2019) 1 argento (Anelli a Montreal 2017) 1 bronzo (Nanning 2014 a Nanning 2014)
Campionati europei 14 medaglie 8 ori (Volteggio a Mosca 2013, Concorso a squadre, corpo libero, anelli e volteggio a Sofia 2014, concorso a squadre a Berna 2016, anelli e volteggio a Stettino 2019) 4 argenti (Concorso a squadre a Montpellier 2012, anelli e volteggio a Montpellier 2015, anelli a Berna 2016) 2 bronzi (Volteggio e anelli a Montpellier 2012)
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