La costante di Eulero-Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica. È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:
dove è l'ennesimo numero armonico. La sua valutazione approssimata è:
0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...Il record per il calcolo di γ è di di decimali (Patrick Demichel e Xavier Gourdon, 1999). V. Histoire des maths
Non è noto se sia un numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10242080 cifre.
Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.
Rappresentazione integrale La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:
dove le parentesi indicano la funzione parte intera;
Altri integrali collegati con sono:
Sviluppo in serie La costante di Eulero-Mascheroni si può esprimere tramite molte serie:
È notabile la serie trovata da Vacca nel 1910:
dove, nuovamente, le parentesi indicano la funzione parte intera. Essa si generalizza in
per ogni intero .
Collegamento con le funzioni speciali La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la funzione zeta di Riemann, la funzione gamma e la funzione digamma.
Presenza in teoria dei numeri La costante di Eulero-Mascheroni compare spesso in teoria dei numeri, ad esempio collegata ai numeri primi
noto come terzo teorema di Mertens. Nel problema dei divisori di Dirichlet
Inoltre,
dove e sono rispettivamente il numero di 1 e di 0 nello sviluppo binario di (Sondow 2005).
Note
Bibliografia Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.
Voci correlate Funzione Gamma Funzione digamma Integrale esponenziale
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