In matematica, una successione complessa è una successione composta da numeri o funzioni complesse.
Successione numerica Una successione numerica complessa è una successione di infiniti termini complessi:
Si dice che una successione complessa ha limite se per ogni esiste , con , tale per cui:
quando . Si scrive:
Geometricamente questo significa che, per valori sufficientemente grandi di n, i punti si trovano tutti all'interno di un intorno circolare di centro e raggio .
Supposto che i termini della successione siano e il limite sia , allora si ha:
se e solo se:
cioè se la parte reale ed immaginaria dei termini della successione tendono singolarmente alla parte reale ed immaginaria del limite.
Infatti, quando e quando le due successioni reali soddisfano rispettivamente:
ed è sufficiente scegliere il più grande degli indici affinché valgano entrambi i limiti. Allora, secondo la definizione:
quando . Viceversa, se per si ha:
allora si ha anche:
Successioni di funzioni Sia una successione di funzioni complesse su un dominio del piano complesso. Si dice che converge puntualmente alla funzione in se:
Si dice che converge uniformemente alla funzione in se:
Si vede facilmente che se si verifica:
allora rispettivamente puntualmente e uniformemente se e solo se e rispettivamente puntualmente e uniformemente .
Criterio di Cauchy
Il criterio di Cauchy sulle successioni di funzioni complesse uniformemente convergenti afferma che se e solo se esiste un numero tale che:
e tale che per ogni esiste un indice tale per cui:
Bibliografia John B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer Verlag, 1986 Jerold E. Marsden, Michael J. Hoffman, Basic Complex Analysis, Freeman, 1987 Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer Verlag, 1991
Voci correlate Criterio di convergenza di Cauchy Limite di una successione Successione (matematica) Successione di funzioni
Collegamenti esterni https://web.archive.org/web/20140318105448/http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexSequenceSeriesMod.html https://www.math.lsu.edu/~neubrand/notes.pdf
Categoria:Analisi complessa Categoria:Successioni di numeri