In matematica, il teorema di densità di Lebesgue afferma che per ogni insieme Lebesgue-misurabile la densità di è pari 1 in quasi ogni punto di , dove la densità in un punto è il limite della misura dell'intersezione tra e una palla centrata nel punto, diviso per la misura della palla, nel limite in cui quest'ultima ha un raggio che tende a zero.
Si tratta di un caso particolare del teorema di Lebesgue.
Il teorema Sia la misura di Lebesgue su e sia un insieme Lebesgue-misurabile contenuto in . La "densità approssimata" di in una palla di raggio centrata in è definita come:
Il teorema di densità di Lebesgue afferma che per quasi ogni punto la densità, definita come:
esiste e vale 1.
La densità di ogni misurabile può essere quindi 0 oppure 1 quasi ovunque in . Se si verifica che e , inoltre, allora è certa l'esistenza di punti in dove la densità non è né 0 né 1. Ad esempio, se si considera un quadrato in un piano, la densità al suo interno è 1, sul bordo 1/2 e negli angoli 1/4. L'insieme dei punti nel piano in cui la densità non è né 0 né 1 non è vuoto (i bordi del quadrato), ma costituisce un insieme di misura nulla.
Bibliografia
Hallard T. Croft. Three lattice-point problems of Steinhaus. Quart. J. Math. Oxford (2), 33:71-83, 1982.
Voci correlate Frontiera (topologia) Misura di Lebesgue Punto di Lebesgue Teorema di Lebesgue
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