In matematica, una misura vettoriale è una generalizzazione del concetto di misura.
Definizione Data un'algebra di insiemi ed uno spazio di Banach , una misura vettoriale finitamente additiva (talvolta detta semplicemente misura) è una funzione tale che per ogni coppia di insiemi disgiunti e in si verifica:
Una misura vettoriale è detta numerabilmente additiva se per ogni successione di insiemi disgiunti in tale che la loro unione sia in si ha:
dove la serie al membro di destra converge nella norma di .
Si può mostrare che una misura vettoriale additiva è numerabilmente additiva se e solo se per ogni successione definita come sopra si verifica:
dove è la norma su .
Le misure vettoriali numerabilmente additive definite su sigma-algebre sono più generali delle nozioni di misura, misura con segno e misura complessa, che sono funzioni numerabilmente additive che mappano rispettivamente sulla retta reale estesa , e .
Variazione di una misura vettoriale Da una misura vettoriale , la variazione di è definita come:
dove l'estremo superiore è preso considerando tutte le partizioni:
di in un numero finito di insiemi disgiunti, per ogni in , e la norma è la norma su
La variazione di è una funzione finitamente additiva che mappa su . Si ha inoltre:
per ogni in . Se è finita, la misura è detta essere a variazione limitata. Si può mostrare che se è una misura vettoriale a variazione limitata allora è numerabilmente additiva se e solo se è numerabilmente additiva.
Bibliografia
Kluvánek, I., Knowles, G., Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
Voci correlate Algebra di insiemi Misura (matematica) Misura con segno Misura complessa
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria della misura