La parità dello zero è una nozione matematica caratterizzata, nonostante la sua semplicità, da limitata consapevolezza nella popolazione delle società occidentali, dovuta a bias cognitivo e spesso a fraintendimenti del concetto nel percorso di istruzione scolastica inferiore. Lo zero è infatti un numero pari in quanto ne soddisfa banalmente la definizione, essendo un multiplo intero di 2 dato dal fatto che 0 × 2 = 0. Ciononostante, una percentuale significativa di studenti, adulti e insegnanti nutre convinzioni errate sull'argomento, e tra le più comuni vi è l'idea che zero non sia né pari né dispari.
Le regole di parità dell'aritmetica (come pari - pari = pari) richiedono che lo 0 sia pari. Lo 0 è l'elemento neutro additivo dell'insieme degli interi pari ed è l'elemento a partire dal quale tutti gli altri numeri naturali pari sono definiti ricorsivamente. Alcune applicazioni di questa ricorsione, utilizzate dalla teoria dei grafi alla geometria computazionale, si basano sul fatto che lo 0 sia pari. Oltre ad essere divisibile per 2, lo 0 è divisibile per ogni intero positivo. Nel sistema numerico binario utilizzato dai computer, è particolarmente importante che lo 0 sia divisibile per ogni potenza di 2: in questo senso, 0 è il numero "più pari" di tutti.
Tra il pubblico in generale, la parità di 0 può essere fonte di confusione, solitamente a causa di una non ottimale educazione matematica. In esperimenti sul tempo di reazione, la maggior parte delle persone è più lenta a identificare 0 come pari di quanto sia veloce ad identificare come pari 2, 4, 6, o 8. Alcuni studenti di matematica (e talvolta anche alcuni insegnanti), pensano che lo 0 sia dispari, o sia pari che dispari, o nessuno dei due. I ricercatori in didattica della matematica propongono di usare queste idee sbagliate come opportunità di apprendimento. Lo studiare uguaglianze come 0 × 2 = 0 può rendere visibili i dubbi degli studenti nel chiamare lo 0 un numero e nell'utilizzarlo in aritmetica. Il discuterne in classe può portare gli studenti ad apprezzare i principi fondamentali del ragionamento matematico, come ad esempio l'importanza delle definizioni. Valutare la parità di questo numero particolare è uno dei primi esempi di un tema importantissimo in matematica: l'astrazione di un concetto familiare a un ambiente non familiare.
Perché zero è pari La definizione tradizionale di "numero pari" può essere usata per dimostrare direttamente che 0 è pari. Un numero viene chiamato "pari" se è un multiplo intero di 2. Come esempio, la ragione per cui 10 è pari è che è uguale a 5 × 2. Allo stesso modo, 0 è un multiplo intero di 2, in particolare 0 × 2 = 0, quindi 0 è pari.: Lemma B.2.2, L'intero 0 è pari e non è dispari. Penner usa il simbolo matematico ∃, il quantificatore di esistenza, per enunciare l'affermazione: "Per dimostrare che 0 sia pari, noi dobbiamo dimostrare che e questo segue dall'uguaglianza ."
È anche possibile spiegare perché 0 è pari senza riferimento a definizioni formali. discute questa sfida per le maestre delle elementari, che vogliano dare spiegazioni matematiche per affermazioni matematiche, ma i loro studenti non usano mai le stesse definizioni e non le capiscono quando sono introdotte. Le seguenti spiegazioni illustrano l'idea che 0 è pari in termini di concetti numerici fondamentali. Da questa base, si può fornire fondamento logico per la definizione stessa e la sua applicabilità a 0.
Spiegazioni di base
Zero è un numero, e i numeri sono usati per contare. Dato un insieme di oggetti, si usa un numero per indicare quanti oggetti ci sono. Zero è il conteggio nessun oggetto, in termini più formali, è il numero di oggetti presenti in un insieme vuoto. Il concetto di parità viene utilizzato per fare dei gruppi di due oggetti. Se gli oggetti in un insieme possono essere divisi in gruppi da due, senza che rimanga nessun oggetto, allora il numero di oggetti iniziale è pari. Se un oggetto rimane, allora il numero di oggetti è dispari. L'insieme vuoto contiene zero gruppi da due, e nessun oggetto è lasciato fuori da questo raggruppamento, quindi zero è pari. "...i numeri rispondono alla domanda "Quanti?" per gli insiemi di elementi ... zero è il numero che descrive l'insieme vuoto... se gli elementi di ogni insieme sono cancellati a gruppi di 2 [e non rimane niente]... allora il numero di elementi di quell'insieme è un numero pari."
Queste idee possono essere illustrate disegnando oggetti a coppie. È difficile descrivere zero gruppi da due, o sottolineare la non esistenza di un oggetto rimasto, quindi è utile disegnare altri gruppi e confrontarli con zero. Ad esempio, in un gruppo di cinque oggetti, vi sono due coppie. Ancora più importante, c'è un oggetto residuo, quindi 5 è dispari. Nel gruppo di quattro oggetti, non c'è oggetto avanzato, quindi 4 è pari. Nel gruppo di un solo oggetto, non ci sono coppie, e c'è un oggetto avanzato, di conseguenza 1 è dispari. Nel gruppo di 0 oggetti, non c'è nessun oggetto avanzato, quindi 0 è pari. "Zero gruppi di due asterischi sono cerchiati. Non avanzano asterischi. Di conseguenza, lo zero è un numero pari."
C'è un'altra definizione concreta di numero pari: se gli oggetti in un insieme possono essere divisi in due gruppi di uguale dimensione, allora il numero di oggetti è pari. Questa definizione è equivalente alla prima. Anche in questo caso, lo 0 è pari perché l'insieme vuoto può essere diviso in due gruppi di elementi entrambi contenenti 0 elementi e di conseguenza uguali fra loro (0/2 = 0/2 = 0).
I numeri possono anche essere visualizzati come punti sulla retta dei numeri. Quando i numeri pari e dispari sono rappresentati in modi diversi, lo schema che seguono diventa evidente, soprattutto se sono inclusi anche i numeri negativi:
I numeri pari si alternano ai numeri dispari. A partire da qualsiasi numero pari, contando su o giù di due in due si raggiunge un altro numero pari, e non c'è nessun motivo per saltare lo zero.; vedi Fig. 3. "Se i numeri pari rispondono a un certo criterio... non c'è nessuna ragione per fare un'eccezione per lo zero all'interno di quel criterio."
Con l'introduzione della moltiplicazione, la parità può essere affrontata in maniera più formale utilizzando espressioni aritmetiche. Ogni numero intero è il risultato di una delle seguenti formule: (2 × n ) + 0 (2 × n ) + 1
I numeri espressi dalla prima formula sono pari, quelli espressi dalla seconda sono dispari. Ad esempio 1 è dispari perché:
1 = (2 × 0 ) + 1
e 0 è pari perché:
0 = (2 × 0 ) + 0
Fare una tabella di questi risultati rafforza l'immagine della retta dei numeri sopra riportata. "A un livello più avanzato ... i numeri espressi come sono numeri pari... zero risponde senza problemi a questa definizione."
Definizione di numero pari La definizione precisa di un termine matematico, come ad esempio "pari" che significa "multiplo intero di due", è in definitiva una convenzione. Al contrario di "pari", alcuni termini matematici sono costruiti escludendo di proposito i casi banali o degeneri. I numeri primi sono un noto esempio. Prima del XX secolo la definizione di primalità era differente e matematici di rilievo quali Goldbach, Lambert, Legendre, Cayley e Kronecker scrivevano che 1 è un numero primo. La moderna definizione di numero primo è un intero positivo con esattamente 2 divisori, quindi 1 non è primo. Questa definizione è oggi preferita perché essa si adatta in modo più naturale ai teoremi matematici che riguardano i numeri primi. Per esempio il teorema fondamentale dell'aritmetica è più facile da enunciare se 1 non è considerato primo. "La decisione che può sembrare arbitraria di togliere l'uno dai numeri primi… non esprime nessuna informazione profonda sui numeri: semplicemente è una convenzione utile, adottata in modo che ci sia un unico modo di fattorizzare un qualsiasi numero in primi." Per una discussione più dettagliata, vedi .
Sarebbe possibile ridefinire il termine "pari" in modo che non includa più 0. Tuttavia, in questo caso, la nuova definizione renderebbe più difficile formulare teoremi riguardanti i numeri pari. L'effetto può essere facilmente visto nelle regole algebriche dei numeri pari e dispari.. Le regole più importanti riguardano addizione, sottrazione, moltiplicazione:
pari ± pari = pari; dispari ± dispari = pari; pari × intero = pari.
Con l'inserimento di valori appropriati nei membri di sinistra di queste uguaglianze, si possono produrre degli 0 nei membri di destra:
2 - 2 = 0; -3 + 3 = 0; 4 × 0 = 0.
Le regole qui sopra sarebbero pertanto errate se 0 non fosse pari. Nella migliore delle ipotesi, queste regole dovrebbero essere modificate. Per esempio, un testo di studio di prova afferma che i numeri pari sono "multipli interi di due", ma afferma anche che zero non è "né pari né dispari". Queste regole sono date, ma non sono citate testualmente. Di conseguenza, le regole del testo per i numeri pari e dispari contengono eccezioni:
pari ± pari = pari (o zero); dispari ± dispari = pari (o zero); pari × intero (diverso da zero) = pari.
Fare un'eccezione per zero nella definizione dei numeri pari forza a fare eccezioni in tutte le regole che riguardano i numeri pari. Da un'altra prospettiva, prendendo le regole rispettate dai numeri pari positivi e richiedendo che continuino a funzionare per tutti gli interi si arriva alla conclusione che zero deve essere pari.
Contesti matematici Innumerevoli risultati nella teoria dei numeri invocano il teorema fondamentale dell'aritmetica e le proprietà algebriche dei numeri pari, quindi la scelta della definizione di numero pari ha conseguenze di vasta portata. Ad esempio, il fatto che i numeri positivi abbiano una fattorizzazione unica significa che si può determinare se un numero ha un numero pari o dispari di fattori primi distinti. Poiché 1 non è primo, né ha fattori primi, è un prodotto di 0 primi distinti, poiché 0 è un numero pari, 1 ha un numero pari di fattori primi distinti. Ciò implica che la funzione di Möbius assuma il valore μ(1) = 1, che è necessario affinché essa sia una funzione moltiplicativa e affinché la formula di inversione di Möbius funzioni..
Zero non è dispari Un numero n è dispari se esiste un numero intero k tale che n = 2k + 1. Un modo per dimostrare che 0 è pari è per assurdo: supponiamo che 0 sia dispari. In questo caso per la proprietà appena citata esiste un intero k tale che 0 = 2k + 1. Ma l'unica soluzione reale di quest'equazione è k = -1/2 che non è intero. Contraddizione. Quindi 0 non è dispari.
Quindi, se si dimostra che un numero è dispari, esso sarà necessariamente diverso da 0. Questa osservazione, apparentemente banale, fornisce un ottimo modo per dimostrare che un numero è diverso da 0.
Teoria dei grafi Un risultato classico della teoria dei grafi afferma che un grafo di ordine dispari ha sempre almeno un vertice pari (l'ordine di un grafo è il numero dei suoi vertici). (Già questa affermazione richiede che zero sia pari: il grafo vuoto ha ordine pari e un vertice isolato è pari.) Per i vertici isolati vedere p. 149; per i gruppi vedere p. 311. Per dimostrare l'affermazione si dimostra un'affermazione più forte che è più facilmente dimostrabile: ogni grafo di ordine dispari ha un numero dispari di vertici pari. Quest'ultima affermazione è spiegata da un'affermazione ancora più generale, nota come lemma delle strette di mano: qualsiasi grafo ha un numero pari di vertici di grado dispari.. Infine, il numero pari di vertici dispari è naturalmente spiegato dalla formula della somma dei gradi.