In matematica, il teorema del massimo modulo è un risultato di analisi complessa.
Afferma che se una funzione è analitica in un dominio (aperto e connesso) , allora ammette un massimo in se e solo se è una funzione costante.
In particolare, se è una funzione analitica non costante in un dominio limitato e continua sul bordo allora il valore massimo di sulla chiusura di (che esiste per il teorema di Weierstrass) viene raggiunto su .
Analogo risultato vale per il minimo ma solo se la funzione non ha zeri all'interno del dominio .
Dimostrazione
Supponiamo che ammetta un massimo in un punto . Essendo aperto, segue che esiste tale che il cerchio di centro e raggio sia contenuto in .
Dalla formula integrale di Cauchy segue che
e quindi, dalla disuguaglianza di Darboux
dove e l'uguaglianza vale se e solo se è costante (con ) su e quindi su tutto per prolungamento analitico. Il teorema segue quindi osservando che è il massimo di e dunque si deve necessariamente avere .
Bibliografia E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.) Krantz, S. G. "The Maximum Modulus Principle" and "Boundary Maximum Modulus Theorem." §5.4.1 and 5.4.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 76–77, 1999.
Voci correlate Analisi complessa Formula integrale di Cauchy Teorema integrale di Cauchy Integrazione complessa Teorema di Borel-Carathéodory
Collegamenti esterni
Massimo modulo
de:Maximumprinzip (Mathematik)