In matematica, in particolare in algebra lineare, un minore di una matrice è il determinante di una matrice quadrata ottenibile da eliminando alcune righe e/o colonne di .
I minori sono uno strumento utile per calcolare il rango di una matrice, e quindi per risolvere i sistemi lineari.
Definizione Una sottomatrice di una matrice , con e interi non negativi, è una matrice , con e interi tali che e , ottenuta da rimuovendo righe e colonne.
Un minore è il determinante di una sottomatrice (quadrata, cioè con ). Il numero è definito ordine del minore.
Un minore complementare è un minore di ottenuto togliendo una sola riga e una sola colonna da . Si nota subito che i minori complementari sono definiti solo per matrici quadrate, altrimenti la matrice risultante non sarebbe più quadrata e non se ne potrebbe calcolare il determinante. Il minore complementare rispetto all'elemento di una matrice quadrata si ottiene togliendo l'-esima riga e la -esima colonna e si indica con o con . Se il minore complementare viene considerato con il segno esso è detto complemento algebrico o cofattore di .
Talvolta con "minore" si intende "sottomatrice quadrata", ma questo uso è meno comune e alcuni risultati potrebbero dover essere enunciati in modo differente. Qui e nel seguito si userà la definizione di minore come determinante.
Sia una matrice e siano un sottoinsieme di con elementi e un sottoinsieme di con elementi. Indicando con il minore di che corrisponde alle righe con indice in e colonne con indice in : Se allora è detto minore principale (o dominante). Se si prendono ordinatamente le prime righe e colonne allora il minore principale è detto minore principale di guida (o minore principale di testa o minore nord-ovest). Un minore principale di guida, quindi, è un minore ottenuto togliendo le ultime righe e colonne. Per una matrice quadrata vi sono minori principali di guida. Per una matrice hermitiana i minori principali di guida possono essere usati per verificare se la matrice è una matrice definita positiva; si veda ad esempio il criterio di Sylvester.
Proprietà Il rango di una matrice è uguale al massimo ordine di un minore non nullo di . Questo risultato fornisce uno strumento frequentemente utilizzato nel calcolo del rango di una matrice, ma non è molto efficiente per matrici con elevato numero di righe e/o colonne.
La matrice dei cofattori è un'importante matrice associata ad una matrice quadrata ed è definita a partire dai suoi minori complementari.
Data una matrice ad elementi reali e rango , allora esiste almeno un minore di ordine non nullo e tutti i minori di ordine maggiore sono nulli.
Esempio Si consideri la matrice :
Allora alcune delle sue sottomatrici sono:
I minori di ordine sono:
Alcuni dei minori di ordine sono:
Infine i minori di ordine :
Bibliografia Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p. 135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0 Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form. Felix Gantmacher, Theory of matrices (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p. 491
Voci correlate Determinante Criterio di Jacobi Criterio di Sylvester Equazione lineare Matrice dei cofattori Rango (matematica)
Collegamenti esterni
MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
Categoria:Matrici