In matematica, un primo di Eisenstein è un intero di Eisenstein
(dove è una radice terza dell'unità)
che è irriducibile (o equivalentemente primo) nel senso della teoria degli anelli: i suoi soli divisori nell'anello sono le unità (1, 1+ω, ω, -1, -1-ω, -ω) z stesso e il prodotto di z per un'unità.
Prendono il nome del matematico tedesco Ferdinand Gotthold Eisenstein.
I primi di Eisenstein sono precisamente quegli interi di Eisenstein z che soddisfano una delle seguenti proprietà (che si escludono a vicenda): z è un numero primo (naturale) nella forma 3n-1 moltiplicato per un'unità dell'anello; z è un divisore di un numero primo nella forma 3n+1; z è prodotto di un'unità e di 1-ω. Le ultime due condizioni possono essere unificate richiedendo che, se , allora è un numero primo.
I più piccoli numeri primi che sono anche primi di Eisenstein sono: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101,...
Alcuni primi di Eisenstein non reali sono:
A settembre 2019, il numero primo di Eisenstein reale più grande è 10223 × 231172165 + 1, scoperto da Péter Szabolcs col progetto PrimeGrid, che è il nono numero primo più grande conosciuto. I numeri primi più grandi di questo sono primi di Mersenne, che (a parte 3) sono congrui a 1 modulo 3, mentre i primi di Eisenstein reali sono congrui a 2 modulo 3.
Note
Collegamenti esterni
Eisenstein Categoria:Teoria algebrica dei numeri