土井-長沼リフト（どい-ながぬまリフト、）は、保型形式論において、楕円モジュラー形式から実二次体上のヒルベルト・モジュラー形式を構成する対応である。名称は、この対応に関する研究を行った土井公二と長沼英久に由来する。1変数の複素上半平面上で定義される楕円モジュラー形式から、実二次体に付随する2変数のヒルベルト・モジュラー形式を得る対応として研究された。
歴史 土井と長沼は、1960年代後半に算術的自己同型関数や特定のディリクレ級数の関数等式の研究を通じて、この種の対応に関する先駆的成果を与えた。1967年には算術的自己同型関数により一様化される代数曲線を扱った論文を発表し、1969年には特定のディリクレ級数の関数等式を扱う論文を公表した。
その後、長沼は1973年の論文で、Hecke の「Neben-type」をもつカスプ形式と実二次体上のヒルベルト・モジュラー形式に付随する二つのディリクレ級数の一致を論じた。これは土井-長沼リフトの記述において重要な位置を占める。
ザギエは、実二次体に付随するモジュラー形式の研究の中で、土井-長沼リフトを別の視点から再構成し、その像や核、ヘッケ作用素との関係などを整理した。
性質 ザギエの扱いでは、土井-長沼リフトは適切な空間のカスプ形式の間の線形写像として定式化され、フーリエ係数や付随するディリクレ級数を通じて記述される。このリフトは、古典的な設定では、ヘッケ固有形式を固有形式へ送ることが知られ、その像や核についても研究されている。
正規化されたヘッケ固有形式に対して、土井-長沼リフトで得られる形式の L 関数が、もとの形式に由来する L 関数の積として表される。
位置づけ 土井-長沼リフトは、保型形式のリフティングの初期の具体例の一つであり、後年には theta lift の観点から再解釈された。解説文献では、楕円モジュラー形式からヒルベルト・モジュラー形式を与える対応として定式化され、ヘッケ作用素との両立や、ヘッケ固有形式を固有形式へ送る性質が強調されている。
また、正規化されたヘッケ固有形式に対して、土井-長沼リフトで得られるヒルベルト・モジュラー形式の L 関数は、もとの形式に由来する二つの L 関数の積として表される。こうした性質は、土井-長沼リフトが単なる形式的対応ではなく、保型 L 関数の振る舞いとも整合する写像であることを示している。同じ文脈では、ボルチャーズリフトが土井-長沼リフトの「乗法的類似物」として位置づけられている。
脚注
参考文献
関連書籍
関連項目 楕円モジュラー形式 ヒルベルト・モジュラー形式 保型形式 ヘッケ作用素 ドン・ザギエ
外部リンク 長沼英久先生退官記念会 - 高知大学情報科学教室