ヴァン・オーベルの定理（Van Aubel's theorem）とは四角形に関する幾何学の定理である。1878年の、ベルギーの数学者 Henricus Hubertus Van Aubel の発表にちなんで命名された.。
オーベルの定理ともいう。 thumb|250px|ヴァン・オーベルの定理の図示。
定理 任意の四角形の各辺に外接する正方形で、対向する正方形の重心を結んだ2線分は、長さが等しく、直交する。
証明 四角形 に対して，頂点 を原点 とする。ベクトル を複素数 に、ベクトル を複素数 に、ベクトル を複素数 に、ベクトル を複素数 に対応させる。ここで複素数の係数2は計算上の便宜的なものである。また、正方形の中心については、ベクトル を複素数 に、ベクトル を複素数 に、ベクトル を複素数 に、ベクトル を複素数 に対応させる。四角形 は閉じているから、ベクトルを計算すると
つまり、
となる。この条件で証明することになる。 点 は点 から点 に向かって半分進み、90度方向を変えて半分だけ進むから、複素数 は、
となる。ここに、 は虚数単位で、 である。複素数は極形式 でも表現され、
であるから、 に をかけるということは半径 、偏角 の複素数をかけるということであり、拡大縮小をともなわない回転移動ということになる。
同様にして、複素数 は次のようになる。
点 から点 に向かうベクトルを 、点 から点 に向かうベクトルを とすると， は ， は であるから、
となる。証明すべきは、線分 と線分 の長さが等しく、互いに直交していることであるから、複素数 と の関係が、
を満たすことである。または、この式の両辺に をかけて整理すると、
となり、この式で証明してもよい。実際に計算すると、
となる。
なお、フィンスラー・ハドヴィッガーの定理を用いた証明もある。
性質 四角形の対角線の中点と、ヴァン・オーベルの定理の直交する2線分の中点は共円であるD. Pellegrinetti: "The Six-Point Circle for the Quadrangle". International Journal of Geometry, Vol. 8 (Oct., 2019), No. 2, pp. 5–13.。
一般化 ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）は、ヤコビの定理のような形で、直交性を拡張した。 任意の四角形について、となるように点を配置したとき、が成立する。
Mathematical Gazetteでは、ひし形や平行四辺形への拡張も示されているM. de Villiers: "Dual Generalizations of Van Aubel's theorem" . The Mathematical Gazette, Vol. 82 (Nov., 1998), pp. 405-412.J. R. Silvester: "Extensions of a Theorem of Van Aubel". The Mathematical Gazette, Vol. 90 (Mar., 2006), pp. 2-12.。
出典
参考文献 西山豊 『理系への数学』2009年11月 - 定理の概要-証明
関連項目 ペトル–ダグラス–ノイマンの定理 テボーの定理 ナポレオンの定理 ボッテマの定理 ベクタン点
外部リンク