ヒポクラテスの定理（ヒポクラテスのていり、）は、幾何学の定理である。二つの円弧で挟まれた月形という図形（）の面積の和が、ある直角三角形の面積に等しいことを主張する。イブン・ハイサム（アルハゼン、10世紀）が示したRashed 2013, pp.39-46, Knorr 1989, pp.45-6. 。なお、図1と図2の月形を各々アルハゼンの月形（）、ヒポクラテスの三日月（）というHippocrates' Squaring of the Lune at cut-the-knot, accessed 2012-01-12..。定理の名前は、月形の面積の研究を始めた紀元前5世紀のキオスのヒポクラテスに由来する。ただし、ヒポクラテスは本定理やその特殊ケースにあたる主張は残していないヒポクラテスの理論については、Heath 1921, pp. 185-6, 191-198に史料の部分訳を交えて詳しく解説されている。これは、Simplicius 1882, pp.55-57, 61-68 (英訳 Simplicius 2022 pp.99-101, 105-113) に基づいている。。イブン・ハイサムやヒポクラテスの命題は、一見して意外性が高く、しかも初等的に証明できることから、現代の中等教育の副教材や啓蒙的な解説でも取り上げられる。
ヒポクラテスは、「月形を用いて、円積問題を解決した（与えられた円と同じ面積の正方形の作図をした）」という誤った主張をしたとも伝えられている。しかし、彼がどのような意図で何を主張をしたのかについては、不明な点が多いLloyd1987に諸説がまとめられている。日本語で読める文献としては、斎藤2013がある。。ただし、中世や近代の初期において、月形は円積問題としばしば結びつけて論じられた。直接的に解決に用いようとする場合もあれば、解決の可能性を示す状況証拠として用いることもあった。また、曲線で囲まれる図形と直線で囲まれる図形が比較可能であることを示す例としても用いられた。しかし、アルキメデス流の曲線図形の取り扱いが広まり、微分積分学が確立すると、単なる幾何学や代数学の例題の一つとなっていった。
数学史においては、ヒポクラテスの月形の議論は、詳細が伝わる最古の論証数学であることから、様々な角度から分析がなされている。また、アラビア語圏、ヘブライ語圏、ラテン語圏にまたがって伝わり、哲学的な注釈書の伝統と数学書の伝統の双方で論じられるため、学術的な交流の痕跡を追跡する立場からも研究がなされている。
定理（イブン・ハイサム） thumb|250px|図1： アルハゼンの月形。青の面積と赤の面積は等しい。 直角三角形で、斜辺を直径とする半円が内接していて他の2辺を直径とする半円は外接している。
斜辺でない方の2辺の半円と直角三角形の和と斜辺の半円の面積の差は、元の直角三角形の面積と等しい。つまり図1では青と赤の面積が等しい。
証明 直角三角形で斜辺を直径とする半円が内接していて他の2辺を直径とする半円は外接している。
円周角の定理より直角三角形の各頂点は斜辺の半円の円周上にある。
円の面積は半径の二乗に比例するので、三平方の定理より、斜辺の半円と、他の2辺の半円の和の面積は等しい。
斜辺の半円と他の2辺の半円で重なる部分がある。この部分を引くと、三日月型と直角三角形が現れる。
よって、斜辺でない方の2辺の半円と直角三角形の和と斜辺の半円の面積の差は、元の直角三角形の面積と同じだということがわかる。
定理の名前と発見者 本定理は、10世紀の数学者イブン・ハイサムの著書『月形について』にはじめてあらわれるRashed 2013, pp.39-46, Knorr 1989, pp.46.。一方、定理の名称は、紀元前5世紀に月形の研究をはじめたキオスのヒポクラテスに由来する。
ヒポクラテスの月形の研究は6世紀のアリストテレスへの注釈書に残っているが、そこには上記の定理の記述はない科学史家のKnorrは"Simplicius’ text does not mention this variant（シンプリキオスのテキストは、このバージョンの主張（すなわちイブン・ハイサムの示した定理）に言及していない）"と述べている(Knorr 1989, p.46)。また、M. Simonは " Hippokrates hat nur einen Mond (Meniskus, lunula) quadriert, und zwar zuerst den, dessen äußerer Bogen der Halbkreis, dessen innerer der Quadrant ist." （ヒポクラテスは一つだけの月形、外側の円弧が半円で内側の円弧が四分円の月形だけを正方形化した）と述べ、本定理をヒポクラテスに帰する説明を誤まり(der Irrtum)だとする。(Simon 1904/5, p.269) 。また、その特殊な場合（たとえば直角二等辺三角形の場合）に相当する主張も現れないヒポクラテスの理論は、 シンプリキオスのアリストテレス『自然学』第一巻185a14-17につけられた注に残っている。（Simplicius 1882, pp.55-57, 61-68、英訳 Simplicius 2022 pp.99-101, 105-113) その内容は、Heath 1921, pp. 185-6, 191-198に史料の部分訳を交えて詳しく解説されている。。そして古代においては、ヒポクラテスの議論を引用するのはもっぱら哲学者・注釈家であって、数学者たちは月形の研究にあまり言及していないLangermann1996,p.32。科学史家 Simonによると、エウクレイデスやヘロンにも同定理はあらわれず、パップスによる、8巻に及ぶ古代数学の集成『数学集成』にも触れられていない (Simon 1904/05, p.269)。。しかし、近代に入って、なぜか本定理はヒポクラテスの業績の中に紛れ込んでしまったKnorr 1989, p.46, " but it has slipped into modem accounts as if by Hippocrates himself." 。
イブン・ハイサムは、古代の流れを受け継いで、円積問題への取り組みの一環として月形に興味をもったようであるRashed 2013, p.40。この主題については、3つの著作が現代に伝わっており、それら全てに「ヒポクラテスの定理」の記述がある（詳しくは、月形研究の歴史·中世·アラビア語圏）。最初の二つの著作は、円積問題の議論が主な動機になっているが、第三の著作では、円積問題をさほど意識せず、円弧で挟まれる様々な図形の正方形化を試みる。現時点においては、イブン・ハイサムのこれらの著作のラテン語訳は知られていないClagett 1978, p.1316。
科学史家 M. Simonの調査によれば、ヨーロッパにおける本定理の初出は17世紀後半のイグナス・ガストン・パルディ(英語版）の幾何学書であるSimon 1904/05, p.269.これは Pardies, Ignace Gaston S.J. Elemens de Geometrie (初版1671年) であろうと思われる。同書は数カ国語に翻訳され、康煕帝への講義にも用いられた。Simonは1683年の第4版を挙げるが、1673年の第2版 pp. 87–88: (paragraph VI.63) にすでに同定理と同様の議論が紹介される。同節にはヒポクラテスの三日月の図を描いたあとにアルハゼンの月形を描いて定理と証明を述べたあと、"& c'est-là la quadrature des Lunes d'Hippocrate de Scio."(そしてこれこそがキオスのヒポクラテスの月形の正方形化である）と付け加える。後の1702年の英語版p.79-80もほぼ同じ説明ではあるが、ヒポクラテスの三日月の図がない。なお、1702年の英語版には、当時の月形の研究の最新の結果もレビューされている。"N.B. Since this, several wayas have been discovered of squaring any assign'd Portion of these Lunes (See the Philosophical Transactions N.259.pag.4.11). Of which this is one."Knorr 1989, p.46,はSimonを引用して”M. Simon notes having failed to discover this variant in works prior to the late 17th century. "と述べるが、Simonは調査で用いた図書館 Die Straßb. Bibliothekは"sehr arm an alten Werken" としている。 。
ただし、14世紀のヨハネス・デ・ムリス(英語版) De arte mensurandi（『計測の術について』）には、角の一つが60°の直角三角形の場合の「ヒポクラテスの定理」が命題26として述べられている。そして、証明にはイブン・ハイサムと同様の論法を用いており、一般の直角三角形にそのまま適用可能であるClagett 1978, p.1315。
ヒポクラテスによる月形の求積 月形の理論を開拓したのは、紀元前5世紀のキオスのヒポクラテスである。
彼の理論については、アフロディシアスのアレクサンドロス（紀元2-3世紀）の伝える手短な議論と、ロドスのエウデモス（紀元前4世紀）の伝える詳しい議論の両方が伝わっているこれらは、いずれも紀元後500年頃のキリキアのシンプリキオスのアリストテレスの注釈書に収録されている。詳しくは後述。。ここではまず後者について説明したのち、前者についても説明する。
エウデモスによると、ヒポクラテスは以下の三種類の月形（ ，、(ash‑shakl al‑hilāl)）の正方形化(,、(tarbīʿun))に成功した。「正方形化」とは、与えられた図形と等しい面積の正方形を作図することである。そのための第一段階として、ヒポクラテスは与えられた月形と等しい面積の多角形の作図を示しているエウデモスの伝える以下の3つの月形の議論は、Heath 1921, pp.191-196に解説されており、その部分はSimplicius 1882, pp.61-67 (英訳 Simplicius 2022 pp.105-111)によっている。 またシンプリキオスの注釈からエウデモスのテキストと推測される部分を抽出して英訳したものが、Netz2004, pp.248-252で提供されている。。（許容された作図の手段については後述。）
エウデモスの伝える三つの例 エウデモスは、月形の正方形化の成功例として、次の3つの例を伝える。例1では外側の円弧が見込む中心角が180°、例2では180°以上、例3では180°以下である。 例1
図（ヒポクラテスの三日月）は、次の二つを満たすように作図されている。
3つの弓形⌓CDA、⌓AEB、⌓CFBは相似
上記の条件を満たすためには、まずBCを円の直径とし、点Aを円弧BCの中点とする。すると円周角の定理より△CABは直角二等辺三角形である。次に、内側の円CFBを半径を外側の円CABの半径の√2倍にする。すなわち、円弧CFBの中心角が円弧CDA、円弧AEBと同じ90°となるようにする。すると、3つの弓形⌓CDA、⌓AEB、⌓CFBは相似になる。また、三平方の定理より相似比の二乗は上記の値になる。
月形と三角形の面積が等しいことの証明
証明のポイントは 相似な図形の面積の比率は、相似比の二乗 という事実である。これと上記の1と2ゆえに、⌓CDA、⌓AEB、⌓CFBの面積の比はになる。すなわち、S=2Tであり、⌓CDAと⌓AEBを合わせた面積（赤の部分）が、⌓CFB（青の部分）の面積に等しい。
一方、△ABCに弓形⌓CDAと⌓AEB（赤の部分）を付け加え、⌓CFB（青の部分を）を取り除くと、月形CABFを得る。よって、△ABCと月形CABFの面積は等しい。
例2, 例3も証明はほぼ同じパターンであるので、省略する。 例2
図は、次の条件を満たすように作図されている。
弓形⌓DEA、⌓AFB、⌓BGC、⌓DHCは相似。
これらの条件のもと、⌓DEA、⌓AFB、⌓BGC、⌓DHCの面積の比はになり、例1とほぼ同じ理由で、影をつけた月形の面積が台形ABCDの面積に等しい。
これらの条件を満たすには、まず、となるよう対角線ACとDBを定めて四角形ABCDを作図する。そして、この四角形に外接するように外側の円DABCを作図する。すると、トレミーの定理から四角形ABCDの辺の長さの2乗の比は、1:1:1:3になる この議論はエウデモスもシンプリキオスも述べておらず、この四角形の作図方法の提示はない。トレミーの定理を用いた方法は、中世のヘブライ語の数学書に見える（月形研究の歴史·中世·ヘブライ語圏の節を参照。）。。次に、内側の円DHCの半径を外側の円の半径の√3倍にするこの四角形に外接円存在することについては、シンプリキオスが証明を付け加えている。。すると、円弧DEA、円弧AFB、円弧BGC、円弧DHCに対応する中心角を全て等しくなって、作られる弓形は相似になり、相似比の二乗は上記の値になる。
例3
図は次の条件を満たすように作図されている。
弓形⌓DFA、⌓AGB、⌓BHC、⌓DIE、⌓EJCは相似
これらの条件のもと、弓形⌓DFA、⌓AGB、⌓BHC、⌓DIE、⌓EJCの面積の比はであり、例１とほぼ同じ理由で、影をつけた月形と五角形ABCEDの面積は等しい。
条件１を満たす等脚台形ABCDは、DA=AB=BC=1、とし、を方程式の解とすれば得られる。この方程式は△DABと△AEBが相似であることから導かれる。灰色部分の月形は、等脚台形ABCDの外接円と△DECの外接円に挟まれた図形である。ここで条件2が満たされていることは、次のようにしてわかる。円弧DIEと円弧DFAに対応する円周角はともに∠ACDあるから、対応する中心角も等しい。よって、⌓DFAと⌓DIEは相似である。条件2に現れる他の弓形も相似であることも、同様にして示すとこが出来る。
=== 本定理との関係=== イブン・ハイサムの『月形詳論』（Maqāla mustaqṣāt fī al-ashkāl al-hilālīyya）では、本定理を用いた「ヒポクラテスの三日月」の正方形化の別証明を与えるRashed 2013,pp.64-65, p.119。右図の△ABCに対して「ヒポクラテスの定理」を用いると、月形AEBFの面積の2倍が△ABCに等しいことがわかる。△ABCの面積は△ABOの面積の2倍であから、月形AEBFの面積は△ABOに等しい。
この証明はエウデモスの伝える論法と異なり、むしろ紀元2-3世紀のアフロディシアスのアレクサンドロスによる説明に近いこれは、エウデモスの逸文と同じく、アリストテレス『自然学』第一巻185a14-17へのシンプリキオスの注釈に残る。以下の説明は、Heath 1921, pp.191-196, Simplicius 2022,pp.99-100 による。また、図5はSimplicius 1882 (CAG 9), p.56 の図にほぼ一致する。ただし影がつけられ、また点につけるラベルが異なる。。まず、右図において、 半円AEBDの面積と四分円AFBOの面積は等しい。（∵三平方の定理を△ABCに適用） 一方、 （月形）＝（半円AEBD）―（⌓AFBD）＝（四分円AFBO）―（⌓AFBD）＝（△ABO） であるから、月形と△ABOの面積は等しい。△ABCに三平方の定理を適用する点はイブン・ハイサムと共通するが、二つ目の月形を考えることはないKnorr1989 p.30以降の説明では、辺BCの上にも半円を描き、月形を二つ作り、イブン・ハイサムの定理の特殊な形を経由する。ここでは、Heath 1921, pp.191-196,やSimplicius 2022,pp.99-100に従った。なお、イブン・ハイサム本人も、自らの理論の独自性を月形二つの和を扱うところに求め、古代人は一つだけの月形を扱うとしている( Rashed 2013, p.32)。。
円と月形の和の求積 ヒポクラテスは、月形と円の和の正方形化も試みている。 例４
紀元前4世紀のエウデモスの伝えるところによると、左のような円と月形の面積を足した部分の面積が、六角形ABCDEFと△GHIの面積を足したものに等しいことを示したという。ただし、外側の円の直径は内側の円の直径の√6倍であり、円弧GH, 円弧HI 円弧GJIの中心角はいずれも60°であるHeath 1921,pp.196-198, Heath 1963, pp.129-130。なお、六角形ABCDEFと△GHIは、どちらも外側の円に内接する正六角形の面積の1/6であるから、この結論は「△GHIの面積の2倍」と言い換えることもできる。
例５
紀元2-3世紀のアフロディシアスのアレクサンドロスは、また別の月形と円の和の正方形化をヒポクラテスに帰する。右において、月形3つと半円を合わせた灰色の部分の面積は、四角形ABCDの面積に等しい。ただし、AB＝BC＝CD＝EFであり、円弧はすべて半円である Simplicius2022, pp.100-101, Heath 1921, Heath 1963, p.186。
円積問題との関係 古来、ヒポクラテスの月形の研究は円積問題、すなわち円の正方形化との関係で言及されることが少なからずある。すなわち、もしも円と月形の和と同じ面積の正方形が作図でき、月形の面積と同じ正方形の両方が作図できたとする。すると、それらを組み合わせて、円の正方形化もできるのではないかというのである辺の長さがcの正方形とaの正方形が与えられた時、両者の面積の差と同じ面積の正方形は、三平方の定理を用いて作図できる。すなわち、斜辺の長さがc、直角を挟む辺の片方の長さがaの直角三角形を作図すればよい。すると、この直角三角形の残りの辺を一辺とする正方形が、作図したい正方形である。。
ただし、例４，例５で円と足し合わせた時に正方形化できる月形は、それ単独で正方形化できていない。よって、この論法では円の正方形化を示したことにはならない。この誤まりは、すでに古代の注釈家たちがアリストテレス『自然学』への注釈で指摘している（後述）。一方、ラテン語圏の中世後半の論考では、これを無視して正方形化に成功したとするものがみられる（後述）。なお、ヒポクラテスの実際の主張や意図については不明な点が多い（後述）。
なお、円周率πが超越数であることから、円の正方形化は、定規とコンパスではもちろんのこと、ネウシス作図を援用しても不可能である。とはいえ、このことが明らかになったのは19世紀のことである。
作図可能性について 以上、月形の面積と等しい多角形を具体的に示した。しかし、目的は月形の「正方形化」が目的であるから、これらの多角形を作図しなければならない。（多角形の正方形化は、エウクレイデス『原論』第2巻·命題14で与えられているから、多角形に変形した時点で正方形化は達成されたことになるなお、Netz2004は、多角形の正方形化はヒポクラテスの当時はしられていなかったかもしれないとする。Netz 2004,p.283, n.47。）また、円積問題の解決に用いるのであれば、月形もまた、作図できなければならない。
作図の手段としては、後のエウクレイデス『原論』の平面幾何学は、コンパスと（目盛りのない）定規のみを許容している。しかし、エウデモスの伝える例3の作図では、定規とコンパスの使用の他にネウシス作図を許しているKnorr 1989, p.34 。シンプリキオスは、円積問題の機械的な曲線を用いた作図法を解決と見做さない一方で、ヒポクラテスのネウシス作図の利用には特に注意していない。
古代ギリシャ・ローマの文献においては、円積問題の解法でどのような作図法が許されるべきかを明示したものは見つかっていない”What we never learn from the ancient writers on the circle quadrature, however, from the time of Aristotle and Eudemus in the 4th century B.C. right through to the time of the commentators in the 5th and 6th centuries A.D.., is what the precise constraints on a construction would be for any solution of this problem to be judged acceptable.” (Knorr 1989, p.364) また、Knorr 1989, p.40-41 も参照。 。中世や近代初期においても、揺れが見られる。
ただし、ヒポクラテスが示した事例の場合はネウシス作図は実は不要で、コンパスと定規のみで作図できることがわかっているいずれの例も、図形の配置を決定するためには二次方程式を解くだけで済む。二次方程式の解は定規とコンパスで求めることができる。例３の作図に必要な二次方程式は、Heath 1921,p.196で解説されている。例2においては、線分ACが円弧DHCに接することを用いれば容易である。。
近代以降の一般化 ヒポクラテスが示した三つの例は、いずれも次のように構成されているHeath 1921, pp.199-200, Knorr 1989, pp.32-38。 月形の外側と内側の円弧の中心角を、各々およびと設定する（nとmは互いに素な自然数）。 外側の円弧の半径を、内側の円弧の半径をとしたとき、
そして、外側と内側の弧を中心角の弧に細分し、各々の弧の両端を直線でむすぶ。例えば、エウデモスの伝える例1では(n,m)は(2,1)、例2では(3,1)、例3では（3,2)である。
このように一般化した構成において、次のことが成立する。
命題 以上のようにして作図された月形と 角形の面積は等しい。例えば、例3では外側の円弧を3等分、内側の円弧を2等分して作った五角形ABCEDと月形の面積は等しい。
証明は、例3の場合の議論を素直に一般化すればよいつまり、外側のn個の弓形の面積の総和（例3の場合、赤色で示される弓形の面積の総和）と、内側のm個の弓形の面積の総和（例3の場合、青色で示される弓形の面積の和）が等しいことを示す。 まず、対応する中心角が等しいことから、多角形と円弧の間につくられる個々の弓形が全て相似であることに注意する。よって、各々の弓形の面積は相似比（＝円の半径の比）の二乗に比例する。よって、外側につくられる弓形一つの面積を、内側につくられる弓形一つの面積をとすると
外側にはn個の、内側にはm個の弓形があるから、外側の弓形の面積の総和と内側の弓形の面積の総和は等しいことがわかる。。科学史家のKnorrによれば、ヒポクラテスもこのような一般化は念頭にあった可能性がある。ただ、対応する図形を構成してみせることはできなかったであろうというKnorr 1989, p.34. エウデモスは「全ての月形が正方形化された」と述べるが、その「全て」を「このように構成される月形の全て」を意味する可能性を示唆する。。
近代に入って、三角法と代数的な手法が結びつくと、この構成は比較的簡単に遂行できるようになった。また、幾何的な作図の規範を（目盛りのない）定規とコンパスに限定する規定も一般的に共有されるようになり、これと二次方程式を用いることが同値であることも、明らかにされた。
以下では、共通の弦の長さを2とし、角度は弧度法を用いる。すると条件１と２から、
を得る。この方程式を解いてを求めれば円弧の半径がわかるから、月形の作図が可能になる。逆に内外の円弧の半径が与えられれば、sin(Θ/2)も作図できる。中心角mΘ、nΘに対応する円弧を描き、互除法を用いて角度Θに対応する円弧を作図でき、sin(Θ/2)が作図できる。
例えば、オイラーはこれらに加えて(n,m)=(2,1)～(5,4)の各々の例を全て調べ、この範囲では、二次方程式に帰着できるのがヒポクラテスの示した3例と(5,1)、(5,3)（合計5例）に留まることを指摘したSteele1965 p.317, Bieberbach1952, p.141, Euler 1771。（オイラー以前にも、同様の研究はあった。詳しくは「月形研究の歴史·近代以降」の節。）
19世紀に入って代数学の理論が進むと、「ある（m,n)については、（１）は二次方程式に帰着できない」ことを厳密に証明できるようになったKnorr1989,p.37 に研究史が簡単に説明されている。その証明は徐々に一般化され、20世紀の中頃、ソ連の数学者 ニコライ・チェボタリョフ とその学生Anatoly Dorodnovが既知の5例以外の場合は二次方程式に帰着できないことを証明した。証明にはガロア理論を用いるPostnikov 2000,pp.645-646, Dorodnov 1947, Постников1963, pp.211-218。
ここまでの説明では簡単のために、前節の条件１と２、すなわち式（１）を出発点として仮定した。しかし、この条件は月形の作図と正方形化の両方が定規とコンパスで可能であることから導くことができる。
命題 与えられた月形が定規とコンパスで作図でき、また正方形化もできるならば、前節の条件１と２が導かれ、式（１）を得る。
証明 月形の弦の長さを２とすると、月形の面積は
と計算される。
月形が定規とコンパスで作図可能であるから、外と内の円弧の半径、は代数的数となり、よって、も代数的数となる。仮に、と書けないとする。すると、ベイカーの定理から、は代数的数の上で一次独立であり、よっては超越数である。そしてXの残りの項は代数的数だから、Xは超越数になってしまう。
そこで、、（すなわち、条件１が成り立つ）とするこれ以降の議論は、Постников 1963 pp.211-212と同じ。また、Postnikov 2000からも証明の論法を読み取ることができる。。すると、が代数的数であることから、も代数的であり、よっても代数的数である。よってリンデマンの定理からは0でなければ超越数である。は月形がつぶれてしまうので、は超越数である。一方、、、、は代数的数である。よって
が代数的数になるためには、（１）が満たされなければならないことがわかる。（証明終）
月形研究の歴史 ヒポクラテスの月形の理論は、曲線に囲まれた図形が直線図形と面積が等しいという、非常に意外性の高い結論を示している点で興味深い。それに加えて、次のような数学史上の重要性がある。
第一に、紀元前5世紀のキオスのヒポクラテスは、論証的な数学を展開した最初期の数学者だと考えられている斎藤2013, p.16 。（現代の数学史家の多数は、タレスやピタゴラスなどの人物の数学者としての活動を認めていない斎藤2013, p.16 。）そして、彼の業績の中で詳しい内容が伝わるのは、月形の正方形化（与えられた月形と同じ面積を作図すること）に関する研究のみである。つまり、黎明期の論証数学を知る貴重な手がかりなのである。
第二に、月形は円積問題と関係して言及されることが多い。これには、次の二通りがある。第一に、円積問題を月形の正方形化を利用して解決しようとするものである。第二に、円の正方形化の可能性の、肯定的な状況証拠として利用しようとするものである。例えば、「曲線図形と正方形は比較可能」といった議論の反例に用いたり、心理的な拠り所としたりするなどである。
第三に、アラビア語圏、ヘブライ語圏、ラテン語圏にまたがって伝わり、哲学的な注釈書の伝統と数学書の伝統の双方で論じられるため、学術的な交流の痕跡を追跡する立場からも研究がなされている。
古代