閉道 (位相幾何学)

数学の特に位相幾何学における閉道（へいどう、）またはループ (loop) は、始点と終点が等しい道を言う。閉道の始点かつ終点となる点を基点 (basepoint) と呼ぶ。

陽に書けば、位相空間 内の閉道とは、単位区間 から への連続写像 で を満たすものである。点付き単位円 は の と を等化して得られる商位相空間と見なせるから、 内の閉道を から への連続写像 のことと定めてもよい。基点 を持つ閉道の全体は のように書かれる。 内の閉道全体の成す集合は、コンパクト開位相を入れて のループ空間 と呼ばれる一つの位相空間を成す。

やや変更して、適当な実数 に対して閉区間 を定義域とする連続写像 を 内のムーアループ (Moore loop) と呼ぶ。基点を共有するムーアループの全体は道の合成 (concatenation) に関してモノイドを成す。

複素解析では求長可能な閉道に興味がもたれる。 のとき、閉道 に対し、 の巻き数 (winding number) が各点 で定義される。これは の周りを が何周するかを表す整数であり、 で計算できる。

関連項目 : 基点を持たない閉道 : 位相群上のループ空間が点ごとの積に関してなす群

ループ代数 基本群: 閉道の基点を保つホモトピー類の全体が道の合成に関してなす群

参考文献

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外部リンク