ペンローズのグラフ記法

サムネイル|ペンローズのグラフ記法で表した行列の積の表現数学や物理学において、ペンローズのグラフ記法（ペンローズのグラフきほう、Penrose graphical notation もしくは tensor diagram notation）は1971年にロジャー・ペンローズにより提案された多重線形関数やテンソルの（通常は手書きの）視覚的描写Roger Penrose, "Applications of negative dimensional tensors," in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971). 。この記法の図は線でつながれたいくつかの図形から構成されている。この記法はPredrag Cvitanovićにより広く研究され、これを古典リー群の分類に用いた。物理学におけるスピンネットワークに対する表現論を用いて、そして線形代数におけるトレースダイアグラムに対する行列群の存在とともに一般化されてきた。

解釈

多重線型代数多重線型代数の言葉においては、それぞれの図形が多重線型関数を表す。図形に付けられた線は関数の入力や出力を表し、図形の結合は本質上の関数の合成である。

テンソルテンソル代数の言葉では、特定のテンソルは特定の形に関連付けられており、各々のテンソルの抽象上下添字に対応して、多くの線が上下に延びている。2つの形を結ぶ線は添字の縮約に対応する。この表記の1つの利点は、新たな添字に新たな文字を作る必要がないことである。また、明示的に基底に無依存であるRoger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2005, , Chapter Manifolds of n dimensions.。

行列各形は行列を表し、テンソル積は水平、行列積は垂直に行われる。

特別なテンソルの表現

計量テンソル計量テンソルは使われるテンソルの種類によってU字型ループもしくは逆U字型ループで表される。フレーム|計量テンソルフレーム|計量テンソル

レヴィ＝チヴィタテンソルレヴィ＝チヴィタ反対称テンソルは使われるテンソルの種類により、下もしくは上を向く棒のついた太い水平の棒で表される。フレーム|フレーム|フレーム|

構造定数サムネイル|144x144ピクセル|構造定数リー代数の構造定数()は1本の線が上を向き2本の線が下を向いた小さい三角形で表される。

テンソル演算

対称化対称化は水平に伸びた添え字の線を横切る太いジグザグ線もしくは波線で表される。サムネイル|242x242ピクセル|対称化(with )

反対称化指数の反対称化は指数線を水平に横切る太い直線で表される。サムネイル|205x205ピクセル|反対称化(with )

行列式行列式は添字に反対称化を適用することにより形成される。サムネイル|386x386ピクセル|行列式サムネイル|533x533ピクセル|逆行列

共変微分共変微分 () は微分されるテンソルを囲む円と微分の下の添字を表す下向きの円から出る線で表される。フレーム|共変微分

テンソル操作図表記法はテンソル代数を操作するのに役立つ。通常、テンソル操作のいくつかの単純な「恒等式」を含む。

例えば、（n は次元数）は一般的な「恒等式」である。

拡張この表記法はスピノルとツイスターの支持で拡張された。

ペンローズのグラフ記法

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