角運動量保存の法則

は「外力のモーメントの総和がゼロなら質点系の全角運動量は保存される」という保存則である。

例えば、フィギュアスケートの選手がスピンをする際、前に突き出した腕を体に引きつけることで回転が速くなる（角速度が大きくなる）。このとき回転軸から腕先までの距離が短くなるため、かわりに回転が速くなることによって、角運動量が一定に保たれる。

回転する「こま」は、回転軸にそって、（上から見て）時計回りなら下向きの、反時計回りなら上向きの角運動量を持っている。独楽の回転軸（それは重心を貫いている）が鉛直方向に平行であれば、独楽にかかる重力と、床から独楽が受ける垂直抗力が共に1本の直線上（回転軸上）にあるため、独楽に働く外力によるトルクは0である。従って、この場合独楽の角運動量は一定であり、独楽は軸周りの回転だけを続ける。ところが、独楽が傾くと独楽にかかる重力と、床から独楽が受ける垂直抗力は、1本の直線上には乗らず、従って、これらの力がトルクを生じさせる。このトルクが独楽の角運動量を変化させる。その結果、独楽は本来の回転軸のまわりの回転に加えて、それとは別の軸（独楽と床が接する点を通る鉛直線）のまわりでも回転をする。それが独楽の「みそすり運動」すなわち歳差運動である。

定義 時刻を 、質点系の全角運動量を 、質点系にはたらく外力のモーメントの総和を とする。角運動量保存則は次で定義される：

すなわち、外力のモーメントの総和がゼロなら質点系の全角運動量は保存される。証明は以下を参照。

エネルギー保存則からの証明

単一質点における、角運動量保存の証明を質点円回転運動を一つの事例として行う。

まず、質点の質量をm、速度をv、回転半径をrとすると、質点mへの遠心力はmv2/rとなる。半径rがΔr変化した際に質点mの速度vがΔv変化したとすると、エネルギー保存則より

として左辺第3項を無視すると、

となる。Δ項を無限小化して両辺を積分すると、

以上より、mvrが一定になり、角運動量保存がエネルギー保存則から導かれる。

尚、ここまでは質点mの円回転について考察したが、半径rをベクトルr、速度vをベクトルvとすれば、楕円回転に対してもr×v = rv⊥（但しv⊥はvのrに対する垂直成分）となる為、本来のベクトル定義の角運動量r×mvについても保存されると言える。

ケプラーの法則との関係

ケプラーの法則の第二法則「面積速度一定の法則」は、「角運動量保存の法則」に他ならない。なぜなら、面積速度は

と表すことができるが、これを 倍すると角運動量の大きさ に等しくなるからだ。ここで、 は太陽に対する惑星の位置、 は惑星の速度、 は惑星の質量である。 この法則は天体の間の引力が中心力であることをあらわしている。

角運動量保存則と空間

一般に物理量の保存則は我々の住む時空の対称性の現れであり、角運動量保存則は空間の回転対称性の現れである。空間については運動量保存則から並進対称性を持つことと併せて、自由な移動に対して対称であって、場所や方向によって物理法則が変わることはない。ただし、弱い相互作用におけるパリティ対称性の破れから、空間が鏡像対称性を持たないこと、すなわち空間には本質的に左右の区別があることが解っている。

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目 保存則 運動量保存の法則