多様体 がポアソン多様体（ポアソンたようたい、）であるとは、 上の 級関数全体のなすベクトル空間を と表すとき、次の性質を満たす写像 が存在することをいう。

は、-双線形形式である。

　:ヤコビ律

このとき、写像 を 上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。

例 をシンプレクティック多様体とする。このとき、上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

ここで、 はそれぞれ から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

と書ける。

関連項目

幾何学的量子化