リーマンの存在定理

数学の複素解析の分野ではリーマンの存在定理（リーマンのそんざいていり、Riemann's existence theorem）とは 現代的には コンパクトリーマン面の圏と完備複素代数曲線の圏が圏同値であるという主張だと述べることができる。

この定理は複素代数多様体の有限 位相的被覆の圏と代数多様体の有限 エタール被覆の圏が圏同値であるというGrauert–Remmertの定理の一般化として 言及されることもある。

主張 X をコンパクトリーマン面, をXの相異なる点、 を複素数とする. この時ある有理型関数 on X があって for each iを満たす.

証明

For now, see SGA 1, Expose XII, Théorème 5.1., or SGA 4, Expose XI. 4.3.

帰結 この定理には数多くの帰結 がある.

定義より X を複素代数多様体とすると, X の幾何的点xにおけるエタール基本群 は次のような射影極限である:

ここで は の全ての有限ガロア被覆を渡る. リーマンの存在定理より, よって, 通常の位相的基本群 of X at xの副有限完備化である事がわかる.

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参考文献 Works Harbater, David. "Riemann’s existence theorem." The Legacy of Bernhard Riemann After 150 (2015) (ed. by L. Ji, F. Oort, S.-T. Yau), Beijing-Boston: Higher Education Press and International Press, Ryan Patrick Catullo, Riemann Existence Theorem. A slide for the paper.

M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, SGA 4, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, 1963–1964, Tomes 1 à 3, Avec la participation de N. Bourbaki, P. Deligne, B. Saint-Donat, version : c46c8b4 2018-12-20 13:39:00 +0100

Remmert, Reinhold (1998), From Riemann surfaces to complex spaces, France, Paris: S´emin. Congr., 3, Soc. Math J. S. Milne (2008). Lectures on Étale Cohomology

外部リンク Riemann's existence theorem (Mathoverflow) Finite Covers of Complex Varieties (Mathoverflow) Riemann's existence theorem (NcatLab)

脚注