混線内接円（こんせんないせつえん、）とは、ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に内接する円のことである。三角形の頂点 を含む二辺に接する混線内接円は 混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。
一意に存在することの証明 三角形 の 傍接円は一意に存在する。 を中心とし を半径とする反転と、角 の二等分線に関する鏡映を合成することで定義される変換を とする。反転と鏡映は全単射であり接点が不変に保たれるので、 も同様である。このとき、 による 傍接円の像は、辺 と辺 に内接し、かつ三角形 の外接円に接するので、すなわち 混線内接円である。したがって、 混線内接円は一意に存在し、同様の議論により と に対しても同じことが示される。
作図
混線内接円は次の手順を踏むことにより作図できる。
角の二等分線を交わらせることで内心 を描く。 を通り直線 に垂直な直線を描き、直線 と との交点をそれぞれ点 と とする。これらは混線内接円が接する点になる。 点 と からそれぞれ と の垂線を描き、その交点を とする。 を中心とし を半径とする円が混線内接円である。
この作図は次の事実により保証されている。
補題（ニクソンの定理） この内心は、混線内接円が二辺と接する点の中点である。
証明 を三角形 の外接円とし、 を 混線内接円 と の接点とする。 と異なる点 と を、それぞれ と の、 と の交点とする。 を中心として と のあいだに相似変換を施すことにより、 と がそれぞれ の弧 と の中点であることがわかる。円周角の定理により、 と がそれぞれ共線な点の三つ組であることがわかる。パスカルの定理を に接する六角形 に適用することにより、 が共線であることがわかる。角 と が等しいことから、 が線分 の中点であることが従う。
他の性質
半径 次の公式は内接円の半径 と三角形 の 混線内接円の半径 を結びつける。
このことから即座に次の式が従う：
ただし は半周長であり、またこの式は点 と円 に対してケイシーの定理を適用することにより得ることもできる。
外接円の点との関係
点 を含む弧 の中点は直線 上にある。 四角形 は調和四角形である。すなわち、 は三角形 の類似中線である。
外接円との接点に関連する円
と は共円四辺形である。
螺旋相似
は と をそれぞれ と に写すの中心である。
三つの混線内接円のあいだに成り立つ関係
頂点と接点を結ぶ直線 各頂点と、それに対応する混線内接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の外相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersではとして紹介されている。三線座標では であり、重心座標では である。
この点は、三角形の垂心とフォイエルバッハ点、ジェルゴンヌ点とシフラー点を通る直線上にある。また、ナーゲル点の等角共役である。混線内接円が外接円と接する点の成す三角形は第三混線三角形（3rd mixtilinear triangle）と呼ばれる。
根心 三つの混線内接円の根心 は、 をに内分する。ここで は内心、 は内半径、 は外心、 は外半径である。
はミッテンプンクトの等角共役と内心の中点である。また、重心とと共線である。Encyclopedia of Triangle Centersではに該当し三線座標は以下の式で与えられる。
混線傍接円 ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に外接する円を混線傍接円（Mixtilinear excircles）という。混線内接円と同様に、二辺との接点の中点は傍心である。また、混線傍接円の中心の成す三角形は第二混線三角形（2nd mixtilinear triangle,outer-mixtilinear triangle）と呼ばれる。
頂点と接点を結ぶ直線 各頂点と、それに対応する混線傍接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の内相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersでは として紹介されている。三線座標ではであり、重心座標ではである。
この点はOI線、重心とフォイエルバッハ点、垂心とフォイエルバッハ点の調和共役、ナーゲル点とシフラー点を通る直線上にある。また、ジェルゴンヌ点の等角共役である。混線傍接円が外接円と接する点の成す三角形は第四混線三角形（4th mixtilinear triangle）と呼ばれる。
根心 三つの混線傍接円の根心は をに内分する。Encyclopedia of Triangle Centersではに該当し三線座標は以下の式で与えられる。ただし
アポロニウス円 3つの混線傍接円のアポロニウス円（3つの混線傍接円に外接する円）の中心はOI線上に存在する。
関連
曲線内接円
参考文献