メルカトル級数

数学において、メルカトル級数（）あるいはニュートン＝メルカトル級数（）とは、自然対数に対するテイラー級数であり、以下の式で表される。

総和記法を用いると、

となる。

この級数はの範囲で（1平行移動した）自然対数に収束する。

歴史この級数はVermij, Rienk; (2012) Bio-bibliography for Johannes Hudde from Utrecht Universityとアイザック・ニュートンの2人によってそれぞれ独立に発見された。ニコラス・メルカトルの著作『対数術』（1668年）によって最初に発表された。

導出この級数はテイラーの定理によって、のでのn階導函数を

からはじめて帰納的に計算することで得られる。

もしくは、有限等比級数（）

より、

を得る。このとき、

であるから、項別積分によって

が得られる。

もしなら、剰余項はのとき0に収束する。

この式を更に k 回繰り返し積分することで

を得られる。ここで

および

は x の多項式である。

特殊例メルカトル級数で、とすると交代調和級数

を得る。

複素級数複素冪級数

は log を複素対数の主値とした際のに対するテイラー級数である。この級数はを満たす全ての複素数に対して収束する。実際、ダランベールの収束判定法から、収束半径が1に等しいと分かるから、半径 r < 1 の全ての円板 B(0, r) 上で絶対収束する。更に、欠けた円板（nibbled disk）（）上で一様収束する。このことは右辺が閉単位円板上全体で一様収束することに注目すれば、代数恒等式

から一度に導かれる。

メルカトル級数

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