ナビエ–ストークス方程式（ナビエ–ストークスほうていしき、）は、流体の運動を記述する2階非線型偏微分方程式であり、流体力学で用いられるConstantin, P., & Foias, C. (1988). Navier-stokes equations. University of Chicago Press.小薗英雄. (2002). Navier-Stokes 方程式. 数学, 54(2), 178-202.。アンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって導かれたC. L. M. H. Navier, "Mémoire sur les lois du mouvement des fluides," Mémoires Acad. Roy. Sci. Inst. France, 6, pp.389-440 (1823)G. G. Stokes, "On the Theories of the Internal Friction of Fluids in Motion, and of the Equilibrium and Motion of Elastic Solids," Trans. Camb. Phil. Soc., 8, pp.287-319(1845）original paper。日本語の文献では「NS方程式」とも略される児玉良明. (1996). CFD 入門 (その 1)− NS 方程式の様々な形 とモデル方程式 一. 日本造船学会誌, (805).。ナビエ・ストークス方程式は、ニュートン力学における運動の第2法則に相当する。
ナビエ・ストークス方程式は、さまざまな状況のモデル化に利用できるため、科学および工学において大きな関心を集めている。完全な形、あるいは簡略化された形の方程式は、航空機や自動車の設計、の研究、発電所の設計、汚染の分析など、多くの問題に役立つ。また、マクスウェルの方程式と組み合わせることで、磁気流体力学の基礎を構成する。
ナビエ・ストークス方程式は、純粋数学においても大きな関心の対象となっている。ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさの問題は、3次元において、解が破綻するのではなく、滑らか（無限回微分可能）な解、あるいは有界な解が存在するかどうかを問うものである。これは、2000年にクレイ数学研究所が正しい解答に対してそれぞれ100万ドルの賞金を設けた、数学における著名な未解決問題である7つのミレニアム懸賞問題の一つである。
2026年9月8日、人工知能企業のOpenAIは、同社の研究者らが社内のフロンティアモデル上で最大1万のエージェントを協調して動作させ、さらにLean証明支援系による形式化を行うことで得た、3次元ユークリッド空間におけるナビエ・ストークス方程式の解の破綻の証明を発表した。
この主張は、外部の数学者やクレイ数学研究所による検証をまだ受けていない。一方、OpenAIはミレニアム懸賞問題の賞金を請求する意向はないとしている。この発表に伴い、競合するAI企業Anthropicに所属するととの間で、をめぐる論争も生じた。アルポーゲとバックマスターは、オイラー方程式について、これと密接に関連する一連の結果を導いていた。
この証明とされる結果を生成するために用いられた手法は、とが2023年に開発した手法を基礎として発展させたものであり、この先行手法は関連する流体方程式におけるを証明するために用いられていたhttps://www.quantamagazine.org/ai-has-solved-one-of-maths-1-million-millennium-prize-problems-20260908/。
導出 流体の質量保存の法則と運動量保存の法則を表す連続の方程式
を用いると、流れの速度場 の物質微分は
と導かれる。ここで、 は密度場、 は応力場、 は流体の単位質量あたりに作用する外力場（加速度場）である。
ここで、ニュートン流体を仮定すれば、応力場が
で与えられる。ただし、 は圧力（静圧）、 は体積粘性率、 は剪断粘性率である。 は対称化したで、デカルト座標の下で成分表示をすれば
で表され、 は速度場の発散
である。
この形の応力場 を用いると、速度場 の物質微分が
で与えられる。この方程式がナビエ–ストークス方程式である藤田宏. (1962). Navier-Stokes 方程式の数学的プロフイル. 日本物理学会誌, 17(4), 260-264.前述の通り、ナビエ・ストークス方程式は流体がニュートン流体であることを前提としているため、非ニュートン流体に対しては成立しない。。この3本見かけは1本だが、x成分, y成分, z成分に分割すると3本となる。の連立偏微分方程式を解いて3次元ベクトル とスカラー の計4つの未知関数の一般解が常に存在する（もしくは一般解が存在しないケースがある）ことを証明せよ、という問題が「ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ（ミレニアム懸賞問題の1つ）」である。加えて、それらの解が「時間大域的かつ滑らかな解」なのかどうかも、非常に重要な論点となる。
なお、速度場の物質微分の第二項は「対流項」あるいは「移流項」と呼ばれ、ベクトル解析の公式により、
と変形することができる。ここで は速度場の回転
であり、渦度と呼ばれる。
単純化した方程式 ナビエ–ストークス方程式は非線形であり、複雑過ぎるので解を求めることは困難である。このため、いくつかの仮定をして問題を簡単化することが多い。しかし簡単化された方程式ですら解析的な方法では解が得られないことが普通であり、解の存在性などの定性的な議論柴田良弘、久保隆徹：「非線形偏微分方程式」、朝倉書店、 (2012年)を超えて、具体的な解の様子を知るためには、ほとんどの場合に数値的な近似解法が必要になる単純化された方程式を上手く選べば、数値計算の負荷を小さくできるため、依然これらの近似方程式は重要である（Ferziger, Perić, 2003）。。
非圧縮性流れ 非圧縮性流れPanton, R. L. (2013). Incompressible flow. John Wiley & Sons.では、速度場の発散 がゼロなので、速度場の発散を含む項を落として
となる。
粘性率が一定の流れ 粘性率 や は温度や圧力の関数であり一定ではないが、粘性率を定数と仮定する場合は、粘性率の勾配を含む項を落として、
となる。また、体積粘性率 は非常に小さいので、 と仮定すると、
となる（ストークスの仮説）。ここで は動粘性率である。
粘性率が一定の非圧縮性流れ 粘性率が一定の非圧縮性流れでは、
となる。ここで は動粘性率である。各項はそれぞれ、 左辺 - 第1項：時間[微分]項、第2項：移流項（対流項） 右辺 - 第1項：圧力項、第2項：粘性項（拡散項）、第3項：外力項 と呼ばれる。外力項は、状況によって、重力をはじめ浮力・表面張力・電磁気力などが該当する。
ストークス流れ（クリープ流れ）
粘性率が一定の非圧縮性流れのうち、流体の速度が遅かったりスケールが小さいなど、レイノルズ数が小さい流れを特にストークス流れあるいはクリープ流れという。ストークス流れでは、非線型である対流項 が無視できて、
となる。この式はストークス方程式（Stokes equations）と呼ばれPironneau, O. (1973). On optimum profiles in Stokes flow. Journal of Fluid Mechanics, 59(1), 117-128.Pozrikidis, C. (2001). Interfacial dynamics for Stokes flow. Journal of Computational Physics, 169(2), 250-301.、線形方程式のため基本解が知られている。例としてクエット流れやハーゲン・ポアズイユ流れがある。
オイラー方程式 粘性のない（）流れでは
となる。この式はオイラー方程式と呼ばれている。
ポテンシャル流れ 渦度（速度場の回転）がない流れ
の場合には、ベクトル解析の定理により
となる速度ポテンシャル が存在する。
近似 ブシネスク近似 熱輸送を伴う流れにおいて、温度による密度変化が大きくないとして扱う近似法をブシネスク近似というZeytounian, R. K. (2003). Joseph Boussinesq and his approximation: a contemporary view. Comptes Rendus Mecanique, 331(8), 575-586.。 境界層近似 流れが主流方向を持ち（逆流、再循環および剥離がない）、幾何的な変形が緩やかなときに行う近似法を境界層近似という。
数値シミュレーション もし一般解が求まれば、流体の挙動を完全に知る事ができることになるが、未だに一般解は発見されていない。また、解の存在可能性についても明らかとはなっておらず、物理学と数学の両方にまたがる重要な課題の一つとなっている（詳細は、ミレニアム懸賞問題、ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさを参照）。従って、極めて特殊な制約条件の問題を除いて数値解析によって近似的に解を求めるTemam, R. (2001). Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis (Vol. 343). American Mathematical Society.Girault, V., & Raviart, P. A. (2012). Finite element methods for Navier-Stokes equations: theory and algorithms (Vol. 5). Springer Science & Business Media.。
流体の数値シミュレーション（数値流体力学、CFD）では、このナビエ–ストークス方程式と連続の式、その他必要に応じてエネルギー保存の法則（熱対流）やマクスウェルの方程式（磁気流体力学）、状態方程式などを連立して、数値的に解くことで流体の挙動を予測するAnderson, John D. (1995). Computational Fluid Dynamics: The Basics With Applications. Science/Engineering/Math. McGraw-Hill Science. .Chung, T. J. (2010). Computational fluid dynamics. Cambridge University Press.Wesseling, P. (2009). Principles of computational fluid dynamics. Springer Science & Business Media.。
移流と拡散両方に関係している現象であるので、クーラン数、拡散数の両方を満たすようにシミュレーションを行う必要がある。
性質
乱流 乱流は流体の多くの流れで見られる時間依存のカオス的な振る舞いであるH. Tennekes、J. L. Lumley、藤原仁志、荒川忠一訳『乱流入門』東海大学出版会、1998年。。Lesieur, M. (2012). Turbulence in fluids (Vol. 40). Springer Science & Business Media.Davidson, P. A. (2015). Turbulence: an introduction for scientists and engineers. Oxford University Press.。全体としての流体の慣性にそれがしたがうことが一般に信じられている。それゆえ慣性の効果が小さな流れは層流となる傾向がある。移流と粘性の強さの比率はレイノルズ数と呼ばれる無次元量であり、レイノルズ数がある閾値を越えると、微小なかく乱が移流項の非線型性により拡大していき、流れ場は非定常な乱流となる。
一方、右辺の粘性率を含む項（粘性項）は乱流の変動を抑制する効果を持つ。あまり深く理解されていないにもかかわらず、ナビエ‐ストークス方程式が乱流の性質を正確に記述することが信じられているFoias, C., Manley, O., Rosa, R., & Temam, R. (2001). Navier-Stokes equations and turbulence (Vol. 83). Cambridge University Press.。計算に対して計算時間が有意味に解き得るようになるちょうどよい計算メッシュによる解のようなこの要求条件の安定した解または直接数値シミュレーションの、乱流に関するナビエ‐ストークス方程式の数値解は、極度に困難である 大宮司久明, 三宅裕, & 吉澤徴. (1998). 乱流の数値流体力学. 東京大学出版会.梶島, & 岳夫. (2014). 乱流の数値シミュレーション. 養賢堂.Wilcox, D. C. (1998). Turbulence modeling for CFD (Vol. 2, pp. 103-217). La Canada, CA: DCW industries.Chen, C. J. (1997). Fundamentals of turbulence modelling. CRC Press.。難易度はその乱流に含まれている混合長さの尺度の違いに強く依存する。適当に変換するのに役立たない、層流を解くものを用いて乱流の流れを解く試みは、非定常解で典型的な結果を残す。
これに反して、レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式（RANS）のような、乱流モデルを補った時間平均方程式は、乱流をモデル化するときに実用的な数値流体力学（CFD）の応用で用いられる。追加の方程式を加えてRANSを導く、Spalart, P. R. and Allmaras, S. R., 1992, "A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows" AIAA Paper 92-0439、、を含む幾つかのモデルは、（LES）Piomelli, U. (1999). Large-eddy simulation: achievements and challenges. Progress in Aerospace Sciences, 35(4), 335-362.Mason, P. J. (1994). Large‐eddy simulation: A critical review of the technique. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 120(515), 1-26.Zhiyin, Y. (2015). Large-eddy simulation: Past, present and the future. Chinese journal of Aeronautics, 28(1), 11-24.Sagaut, P. (2006). Large eddy simulation for incompressible flows: an introduction. Springer Science & Business Media.がこれらの方程式を数値的に解くように用いるようにもできる。RANSよりも計算時間と計算機メモリーの面で、これらのアプローチは電子計算機で行うには大変コストがかかる。しかし、それは陽的に大きな乱流の尺度を分解するのでより良い結果を生み出すのである。
脚注 注釈
出典
関連項目 ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ ミレニアム懸賞問題 流体力学 バーガース方程式 移流拡散方程式 gifted/ギフテッド（2017年のアメリカ映画。ナビエ–ストークス方程式を題材として扱っている） 偏微分方程式 微分方程式
外部リンク 京都大学 Navier-Stokes方程式の数理とその応用プロジェクト