ティーツェ変換

群論においてティーツェ変換（）は与えられた群の表示を別の（より単純な）表示へ変換するのに用いられる。名前は1908年の論文でこの変換を導入したハインリッヒ・フランツ・フリードリッヒ・ティーツェにちなんでつけられた。

群の表示とは生成元と関係子のことで、形式的には生成元とよばれる集合と関係子とよばれる生成元を基底とする自由群の語からなる集合の組である。ティーツェ変換はいくつかの基本変換からなり、それぞれは明らかに群の表示を同型な群の表示へ変換する。この基本変換は生成元または関係子に作用し、四種類からなる。

逆にティーツェによる基本定理によれば、同型な群の有限表示は有限回のティーツェ変換により一方から他方へ変換することができる。

関係子の添加新たな関係子が既にある関係子から帰結できるとき、表示にその関係子を添加できる。たとえば位数の巡回群がもつ有限表示をとる。関係式の両辺にを掛けるととなるから関係式を関係式から帰結できる。したがっては同じ群の別表示である。

関係子の削除ある関係子が他の関係子から帰結できるとき、表示からその関係子を削除できる。たとえば表示では関係式は関係式から帰結できるので削除できる。一方でもし関係式を削除すると、これは位数の巡回群を定めるため、群は同型でない。削除する関係子が他の関係子から帰結できるのかに注意を要する。

生成元の添加表示に既にある生成元の語を新たな生成元として添加できる。表示が与えられたときとすれば同じ群の別表示である。

生成元の削除ある生成元が他の生成元の語と関係式で結べるとき、表示からその生成元を削除できる。そのためには関係子に現れる削除する生成元をすべて同値な語により置換する必要がある。位数の基本アーベル群がもつ表示から生成元を削除すると同じ群の別表現へ変換される。

具体例次数の対称群がもつ表示をとる。生成元は置換と、生成元は置換と対応している。ティーツェ変換により置換と対応する生成元を添加し、生成元を削除することで、この表示をへ変換できる。出発点生成元の添加関係子の添加関係子の削除生成元の削除

注

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